Integrationsmethoden der Lieschen Theorie. (Q2621741)

Es handelt sich um die Integrationsmethoden, zu deren Entwicklung \textit{Lie} durch sein Fundamentalproblem veranlaßt worden ist, ein System von Differentialgleichungen zu integrieren, das gewisse bekannte infinitesimale Transformationen gestattet. \textit{Lie} hat gelehrt, wie man diese bekannten infinitesimalen Transformationen am vorteilhaftesten verwertet. Der Verf. will nun dazu beitragen, daß\ diese \textit{Lie}schen Gedanken zum Allgemeingut der Mathematiker werden, woran bisher leider noch sehr viel fehlt. Dabei beschränkt er sich auf die gewöhnlichen Differentionalgleichungen in \(x\), \(y\), was sich deswegen empfiehlt, weil die infinitesimalen Transformationen einer solchen Gleichung, sobald die Ordnung \(>3\) ist, stets eine endliche Gruppe von Punkt- oder Berührungstransformationen erzeugen. An einer Reihe von Beispielen wird auf S. 1-32 gezeigt, daß\ jede Kurvenschar der Ebene durch eine gewöhnliche Differentialgleichung definiert werden kann. Der Verf. behandelt die Kreise, die Parabeln, die Kegelschnitte und die Kurven dritter Ordnung mit Spitze und bemerkt, daß\ die gefundenen Differentialgleichungen jedesmal gewisse bekannte infinitesimale Punkttransformationen gestatten. Insbesondere gestattet die der Kreise eine \(G_{10}\) von Berührungstransformationen (\(BT\)), die bestimmt wird. Aus ihr gewinnt man als Ausartung die \(G'_{10}\) von \(BT\) der Differentialgleichung \(y''' = 0\), die andrerseits nach \textit{Lie} mit jener \(G_{10}\) durch \(BT\) ähnlich ist. Die Parabel \(y = x^2\) gestattet eine siebengliedrige Untergruppe der \(G'_{10}\), und es stellt sich heraus, daß\ ihr Polarsystem einer eingliedrigen Untergruppe von \(BT\) angehört, die angegeben wird. Die Parabel \(y = x^3\) gestattet eine dreigliedrige Untergruppe und genügt daher einer invarianten Differentialgleichung siebenter Ordnung, die später (S. 180) wirklich aufgestellt wird. S. 33-134 zeigen, wie die niedrigsten invarianten Differentialgleichungen, die niedrigste Differentialinvariante und das invariante Bogenelement \(ds\) einer Gruppe bestimmt werden, von der die infinitesimalen Transformationen gegeben sind. Der Verf. hat hier das ursprüngliche Verfahren \textit{Lie}s zur Bestimmung der Differentialinvarianten außerordentlich vereinfacht und namentlich die Fälle ermittelt, in denen die Bestimmung ohne Integration geleistet werden kann, so daßdie Zurückführung der Gruppe auf die kanonische Form entbehrlich wird. Nunmehr geht der Verf. zur Integration der bei einer vorgelegten Gruppe invarianten Differentialgleichungen über. Auf S. 135-163 werden die Differentialgleichungen behandelt, die durch Determinantenbildung erhalten werden, auf S. 163-169 die von der Form \(I = \)const, wo \(I\) die niedrigste Differentialinvariante ist, auf S. 169-190 die von übrigen, die man zunächst durch Integration auf die Form \(I = \varphi (r)\) bringen muß, wo \(\varphi \) im allgemeinen noch Integrationskonstanten enthält. Es ist das in der {Cesàro-Pick}schen natürlichen Geometrie die Aufgabe, eine Kurve aus ihrer natürlichen Gleichung zu bestimmen. Kap. II (S. 191-219) beschäftigt sich mit Differentialgleichungen erster Ordnung, von denen man eine infinitesimale Transformation kennt. Man kann dann, wenn diese nicht trivial ist, nach \textit{Lie} einen \textit{Euler}schen Multiplikator finden. Der Verf. verallgemeinert das auf ein simultanes System in \(n+1\) Veränderlichen, das \(n\) bekannte infinitesimale Transformationen gestattet. Dann läßt sich nämlich unter gewissen Bedingungen ein System von \(n\) Funktionen aufstellen, das eine Verallgemeinerung des \textit{Euler}schen Multiplikators ist. (IV 9.)