Der Maßbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppen. (Q2621749)

In dieser Arbeit, die das Haupthilfsmittel zum Beweis der Analytizität der geschlossenen kontinuierlichen Gruppen liefert (vgl. das folgende Referat), definiert Verf. in topologischen Gruppen mit metrischem, separablem, im Kleinen kompaktem Gruppenraum, ein rechts-(oder links-)invariantes Maß. Man nenne \(h(\bar \mathfrak B, \bar \mathfrak K)\) die Minimalzahl der zur Überdeckung von \(\bar \mathfrak B\) benötigten, mit \(\bar \mathfrak K\) kongruenten Mengen (deutsche Buchstaben = offene Mengen); \(\mathfrak K_n\) sei eine Folge von Kugeln, die auf einen Punkt zusammenschrumpft. Es liegt nahe, Inhalt von \(\mathfrak B\) den Grenzwert der Folge \[ l_n(\bar \mathfrak B) = \frac {h(\bar \mathfrak B, \bar \mathfrak K_n)}{h(\bar \mathfrak E, \bar \mathfrak K_n)} \] zu nennen (falls er existiert); \(\mathfrak E\) ist dabei eine feste (normierende) Menge, deren Inhalt 1 wird. Soweit liegt alles auf der Hand; die Hauptaufgabe ist aber, zu erreichen, daß\ ``genügend viel'' Mengen einen Inhalt bekommen. Mittels des Diagonalverfahrens kann man eine Auswahl aus den \(\mathfrak K_n\) treffen, so daß\ für abzählbar viele \(\mathfrak B\) der obige Limes existiert; und zwar suche man sich für diese \(\mathfrak B\) alle Kugeln aus, deren Mittelpunkte in einer überfall dichten Menge liegen, und deren Radien rational sind. Nennt man \(\lambda _n(r)\) den Wert von \(l_n\) für die Kugel (um einen bestimmten dieser Punkte) mit dem Radius \(r\), so hat man eine Folge monotoner Funktionen \(\lambda _n(r)\), die für jedes rationale \(r\) konvergiert; die Grenzfunktion \(\lambda (r)\) ist dann bekanntlich (außer etwa für abzählbar viele Werte \(r\)) stetig. Alle diese Kugeln (abzählbar viele evtl. ausgenommen) sind also Nullmengen, d. h. lassen sich in offene Mengen einschließen, für die der obere Inhalt, \(\lim \sup l_n\), beliebig klein ist. Nun hat man genügend viele Mengen mit Inhalt zur Verfügung. Es läßt sich nämlich zeigen, daß\ (nicht nur die bewußten abzählbar vielen Kugeln, sondern) alle offenen kompakten Mengen, deren Rand eine Nullmenge ist, einen Inhalt besitzen (d. h. daß\ für sie der Limes existiert). Daß\ das Limes tatsächlich die üblichen Eigenschaften des \textit{Jordan-Cantor}schen Inhalts hat, und daß\ er rechtsinvariant ist, ist leicht einzusehen. Auch ein \textit{Lebesgue}sches Maß\ und ein \textit{Lebesgue}sches Integral lassenn sich ohne Mühe einführen. Die Untersuchungen von \textit{Peter} und \textit{Weyl} (1927; F. d. M. 53, 387 (JFM 53.0387.*)-388) lassen, wie Verf. skizziert, eine Übertragung auf im Kleinen kompakte Gruppen zu.