Stetigkeitssätze für halbeinfache Liesche Gruppen. (Q2621751)

Verf. beweist einen Satz, der sich, wie ihm wohl entgangen ist, bereits bei \textit{É. Cartan} (1930; F. d. M. 56, 371 (JFM 56.0371.*)) findet, wesentlich einfacher. Der Satz lautet: Jeder Isomorphismus zwischen kompakten halbeinfachen \textit{Lie}schen Gruppen ist stetig, also nach \textit{v. Neumann} (1927; F. d. M. 53, 387 (JFM 53.0387.*); \(55_{\text I}\), 245) analytisch. Läßt man die Voraussetzung der Kompaktheit weg, so gilt der Satz, wie ein Beispiel von \textit{v. Neumann} zeigt, nicht mehr. Der Satz beruht darauf, daß\ sich bei kompakten einfachen \textit{Lie}schen Gruppen mit rein gruppentheoretischen Hilfsmitteln Mengen definieren lassen, die in beliebig kleinen Umgebungen der Identität enthalten sind und zugleich beliebig kleine Umgebungen der Identität enthalten, nämlich die Mengen \(M(A)\) der Produkte \[ \prod _1^n C_\nu (B_\nu AB _\nu ^{-1}A^{-1}) C_\nu ^{-1} \] (\(B_\nu, C_\nu \) durchlaufen die ganze Gruppe). Nebenbei ergibt sich noch, daß\ bei einfachen \textit{Lie}schen Gruppen die Faktorgruppe nach dem (diskontinuierlichen) Zentrum auch gruppentheoretisch einfach ist. (III 5.)