Integrazione di un'equazione differenziale presentatasi in elettrotecnica. (Q2621780)

Es handelt sich um die Differentialgleichung \[ \frac {d^2y}{dt^2} + K\frac {dy}{dt} + N \sin y + P = 0, \] wo \(M, N, P\) positive Konstanten sind. Sie läßt sich in \[ 2\frac {d^2y}{dx^2} + \alpha \frac {dy}{dx} + \sin y + \beta = 0,\tag{1} \] wo nur zwei Konstanten auftreten, und weiter, von einer Quadratur abgesehen, in \[ 2z\frac {dz}{dy} + \alpha z + \beta + \sin y = 0\tag{2} \] überführen. Es interessiert aus physikalischen Gründen, zu untersuchen, ob (1) eine Lösung von der Form \[ y = a + bx + \varphi (x) \] zuläßt, wo \(\varphi (x)\) periodisch ist; dazu ist notwendig und hinreichend, daß\ (2) eine periodische Lösung besitzt. Es ergibt sich, daß\ eine und nur eine solche Lösung stets existiert, wenn \(\beta > 1\); dasselbe findet für \(\beta \leq 1\) nur dann statt, wenn \(\alpha \) eine bestimmte von \(\beta \) abhängige Grenze nicht übertrifft. Zur Berechnung der Lösung muß\ sich graphischer oder numerischer Methoden bedienen. Die zweite Schrift enthält die Antwort des Verf. auf einige ihm von \textit{G. Cimmino} schriftlich mitgeteilte Einwände.