Zur geometrischen Variationsrechnung. (Q2621947)

Aus der von den Verf. selbst gegebenen Einleitung: ``Die folgenden Untersuchungen bilden eine Weiterführung der von \textit{W. Mayer} vor einigen Jahren entwickelten Gedankengänge''. ``Sie gehören dem Problemkreis der zweiten Variation an und haben demgemäß\ Berührungspunkte mit einigen teils älteren, teils neueren Untersuchungen anderer Autoren'' (\textit{Landsberg}, 1908; F. d. M. 39, 439 (JFM 39.0439.*)-441. \textit{Berwald}, 1928; F. d. M. 54, 760 (JFM 54.0760.*). \textit{Enea Bortolotti}, 1928; F. d. M. 54, 760 (JFM 54.0760.*)-761), ``unterscheiden sich aber doch von diesen recht weitgehend durch den leitenden Gedanken, der im wesentlichen darin besteht, zunächst unabhängig von der Anwendung in der Variationsrechnung das Verhalten des \textit{Euler}schen Vektors in einer Kurvenschar zu untersuchen. Im Mittelpunkt steht eine allgemeine Formel für die Ableitung des \textit{Euler}schen Vektors nach dem Scharparameter. Man erkennt unmittelbar, daß\ eine derartige Formel eine ältere von \textit{T. Levi-Civita} für den \textit{Riemann}schen, von \textit{L. Berwald} für den allgemeinen Raum der Variationsrechnung angegebene Formel als Spezialfall enthalten wird. Erheblichere Bedeutung scheint aber die Tatsache zu besitzen, daß\ sich aus dieser Formel einige Folgerungen ziehen lassen, die recht verschiedenartige Sätze aus der Geometrie zwei- und mehrdimensionaler \textit{Riemann}scher Räume betreffen. Es handelt sich um eine vermutlich neue ``innere'' Definition der \textit{Gauß}schen Krümmung einer Fläche, eine Formel von \textit{Liouville}, den Integralsatz von \textit{Gauß-Bonnet} und schließlich um eine neue Charakterisierung der \textit{Riemann}schen Räume konstanter Krümmung.'' Auf die naheliegende Frage einer analogen Behandlung höherdimensionaler Variationsprobleme hoffen die Verf. in kurzem eingehen zu können. (V 6 C.)