Alternativkörper und der Satz vom vollständigen Vierseit \((D_9)\). (Q2622148)

In der Arbeit über das \(A\)-Netz (Die Schnittpunktsätze des projektiven speziellen Fünfecksnetzes in ihrer Abhängigkeit voneinander (Das \(A\)-Netz), Math. Ann 106 (1932), 755-795; F. d. M. 58) hat Verf. gezeigt, daß\ der spezielle Vierseitssatz \(D_9\) vom Rang 9 ausreicht, um eine Streckenrechnung aufzubauen, in der alle Rechenregeln bis auf das allgemeine kommutative und assoziative Gesetz der Multiplikation gelten. Statt dessen gilt nur \[ \begin{aligned} \alpha \alpha ^{-1} &= 1 = \alpha ^{-1}\alpha,\\ \alpha ^{-1}(\alpha \beta ) &= \beta = (\beta \alpha ) \alpha ^{-1}.\end{aligned} \] Außerdem läßt sich jede Gerade durch eine lineare Gleichung charakterisieren. Ein Zahlensystem, in dem die genannten Rechenregeln gelten, ist nach \textit{Zorn} (1930; F. d. M. \(56_{\text{I}}\), 140) ein Alternativkörper. Umgekehrt läßt sich nun zeigen, daß\ auf jedem Alternativkörper eine Geometrie aufzubauen ist, in der die Verknüpfungsaxiome und der \(D_9\) gültig sind. Da der volle \textit{Desargues}sche Satz vom Rang 11 \((D_{11})\) das allgemeine assoziative Gesetz zur Folge hat, muß, um zu zeigen, daß\ der \(D_{11}\) nicht aus dem \(D_9\) folgt, ein eigentlicher Alternativkörper (d. h. ein solcher, in dem \((ab)c = a(bc)\) für beliebige Zahlen des Körpers nicht gilt) konstruiert werden, der sich überdies im Sinne der Monotoniegesetze ordnen läßt. Dies Ziel wird in der vorliegenden Arbeit noch nicht erreicht; Verf. gibt nur ein Beispiel eines eigentlichen Alternativkörpers an, der sich aber sicher nicht ordnen läßt. (III 5.)