Eine elementargeometrische Eigenschaft von Verschlingungen und Knoten. (Q2622172)

Die beiden Hauptergebnisse sind: (A) Sind \(A\) und \(B\) zwei einfach geschlossene, miteinander verschlungene Kurven im \(R^3\), so gibt es wenigstens eine Gerade, die jede der beiden Kurven zweimal schneidet, und zwar in der Reihenfolge \(BABA\). (B) Jeder Knoten \(K\) im \(R^3\) wird von wenigstens einer Geraden viermal geschnitten. Zur Präzisierung von (A) werden folgende Zahlen eingeführt: \(_Av_B\) ist die Mindestzahl der Überschreitungen von \(B\) durch die Kurve \(A\), wenn man diese unter Festhaltung von \(B\) auf einen Punkt zusammenzieht; im allgemeinen ist \[ _Bv_A \not =\;_Av_B; \] ist \(u\) die bekannte Homologie-Verschlingungszahl (also die algebraische Schnittzahl von \(B\) mit einem von \(A\) berandeten Flächenstück, die symmetrisch in \(A\) und \(B\) ist), so ist \(_Av_B \geq u\). Nun ist (A) in dem schärferen Satz enthalten: Die Anzahl der in (A) genannten virfachen Sehnen ist \(\geq _Av_B \cdot _Bv_A \geq u^2\). In diesem Zusammenhang wird auch die folgende, für die Klärung des Verschlingungsbegriffes wichtige Tatsache bewiesen, von der man bisher nur die Umkehrung kannte: Ist \(u=0\), so lassen sich \(A\) und \(B\) durch gleichzeitige Deformation auf Punkte zusammenziehen, ohne daß\ dabei jemals \(A\) und \(B\) zusammenstoßen. Ähnlich wird (B) nach Einführung einer ``Verknotungszahl'' \(k\) präzisiert. \(k\) ist für ein geschlossenes Polygon \(K\) im \(R^3\) die Mindestzahl von Singularitäten, die auf dem Rande eines von \(K\) berandeten Elements auftreten; \(k\) ist immer gerade und nur für unverknotete \(K\) gleich 0. Die Präzisierung von (B) lautet: \(K\) besitzt wenigstens \(\frac {k^2}{2}\) vierfache Sehnen; diese Anzahl ist also, wenn \(K\) wirklich ein Knoten ist, \(\geq 2\).