Drei Sätze über die \(n\)-dimensionale euklidische Sphäre. (Q2622179)

Satz 1: Jede stetige Abbildung der Sphäre \(S^n\) in sich, die jedes antipodische Punktepaar in ein antipodisches Punktepaar überführt, ist wesentlich, d. h. läßt sich nicht stetig so abändern, daß\ das Bild schließlich nur ein echter Teil der \(S^n\) ist. Satz 2: Bei jeder stetigen Abbildung der \(S^n\) auf einen echten Teil von sich gibt es ein antipodisches Punktepaar mit gemeinsamen Bildpunkt. Satz 3: Bei jeder Bedeckung der \(S^n\) mit \(n+1\) abgeschlossenen Mengen enthält wenigstens eine dieser Mengen ein antipodisches Punktepaar. Der Satz 3 findet sich, wie Verf. nachträglich bemerkt hat, schon in einer Arbeit von \textit{Lusternik} und \textit{Schnirelmann} (Méthodes topologiques dans les problèmes variationnels, 1930; F. d. M. 57), übrigens mit einem ganz andern Beweis. Der wesentliche Hilfssatz ist: Jede Abbildung, die die Voraussetzungen des Satzen 1 erfüllt, hat ungeraden Grad. Zugleich mit diesem Satz wird auch auf einem neuen Wege der - früher für \(n=2\) von \textit{Brouwer} (1913; F. d. M. 44, 555 (JFM 44.0555.*)-556), für beliebiges \(n\) vom Referenten (Math. Ann 96 (1926), 209-224; F. d. M. 52) bewiesene - Satz bewiesen, daß\ zwei Abbildungen gleichen Grades der \(S^n\) in sich stets zur gleichen Abbildungsklasse gehören.