Über gewisse Invarianten der \(\varepsilon \)-Abbildungen. (Q2622184)

Eine stetige Abbildung eines kompakten metrischen Raumes \(A\) in einen topologischen Raum heißt (nach \textit{Alexandroff}) eine \(\varepsilon \)-Abbildung, wenn die Originalmenge jedes Bildpunktes einen Durchmesser \(< 2\varepsilon \) hat. Es gibt Eigenschaften der Räume \(A\), die zwar nicht bei allen stetigen, wohl aber bei allen \(\varepsilon \)-Abbildungen mit hinreichend kleinem \(\varepsilon \) invariant sind. Es wird gezeigt: Derartige Eigenschaften sind: (1) Die wesentliche Abbildbarkeit auf die \(n\)-dimensionale Sphäre (``Wesentlichkeit'' im Sinne der in der vorstehend besprochenen Arbeit gegebenen Definition); (2) die Eigenschaft einer Menge \(A < R^n\), den \(R^n\) zu zerlegen. Im Zusammenhang mit (2) wird noch bewiesen: \(A\) zerlege den \(R^n\); in jeder Komponente von \(R^n - A\) liege eine \((n-1)\)-dimensionale Sphäre vom Radius \(r\); \(\varphi \) sei eine \(\varepsilon \)-Abbildung von \(A\) mit \(\varepsilon = \frac {r}{\sqrt {2}}\) auf eine Menge \(A'\) des \(R^n\). Man beachte die Verschärfung dieses Satzes durch \textit{Kuratowski}.