Über parabolische Risse. (Q2622321)

In früheren Arbeiten hat Verf. eine auf \textit{L. Eckhart} zurückgehende Verallgemeinerung der kinematischen Abbildung von \textit{W. Blaschke} und \textit{J. Grünwald} untersucht. Die Raumgeraden wurden dabei mit Hilfe von zwei ``projizierenden'' Regelscharen zweiten Grades (\(S\)), (\(T\)) auf die geordneten Geradenpaare der Ebene \(\pi \) abgebildet. Sind (\(S\)), (\(T\)) insbesondere die beiden Regelscharen derselben ''Kernfläche'' zweiten Grades \(\varPhi \), so heißen die Risse ``konjugiert''. In dieser Arbeit wird der Fall einer eineindeutigen Abbildung des Strahlenraumes mittels konjugierter Risse untersucht. Es muß dazu \(\varPhi \) in ein Doppelpaar \(\varrho _{1,2}, r_{1,2}\;(\varrho _1\varrho _2=r_1r_2=R)\) ausarten, während (\(S\)), (\(T\)) in zwei verschränkte Strahlenbüschel-Paare übergehen. Die Risse \(G', G''\) einer Geraden \(G\) allgemeiner Lage sind dann die \(\pi \)-Strahlen der Kongruenzen, welche \(G\) enthalten, und deren Brennstrahlen \(S\)- bzw. \(T\)-Strahlen sind. Diese Risse heißen ``parabolische'', und zwar von pseudoeuklidischem oder euklidischem Typus, je nachdem die Paare \(\varrho _{1,2}, r_{1,2}\) reell oder konjugiert imaginär sind. Das Koinzidenzgebilde bei parabolischen Rissen besteht aus dem Feld \(\pi \), dem zu \(\pi \) \(\varPhi \)-polaren Bündel \(p\) und dem ``\(\pi \)-Gürtel'' (\(=\) Strahlen in \(\varrho _{1,2}\) und durch \(R\pi \)). Einer Umorientierung aller Rißpaare entspricht im Raum eine Spiegelung an \(p, \pi \). Die Risse der Strahlen eines ebenen Feldes lassen sich durch zwei Netzprojektionen bestimmen. Einem Strahlenbüschel allgemeiner Lage sind zwei zu ihm projektive Bild-Büschel zugeordnet. Umgekehrt liegen die zu einem gegebenen Rißpunkt gehörigen Original-Büschel in einem linearen Komplex, die zu einem gegebenen Bildpunktepaar gehörigen Original-Büschel in einer linearen Kongruenz mit \(\varPhi \)-polaren Brennstrahlen. Die Kernkurve \(\varDelta \), die \(\pi \)-Spur von \(\varPhi \), ist im parabolischen Fall ein Geradenpaar, ihre automorphen (oder \(\varDelta \)-)Kollineationen daher dual zu den Ähnlichkeitstransformationen der euklidischen Geometrie. Nach Festlegung einer geeigneten Maßbestimmung in \(\pi \) werden die \(\varDelta \)-Kollineationen dementsprechend nach den zu ihnen dualen Typen der Ähnlichkeitstransformationen bezeichnet. Die nicht singulären Ebenen des \(R_3\) erscheinen dann umkehrbar eindeutig auf die euklidischen bzw. pseudoeuklidischen starren Transformationen vom Typus der Bewegungen abgebildet. Die singulären Ebenen lassen sich eineindeutig durch gewisse zweifach singuläre \(\varDelta \)-Kollineationen festlegen. Umgekehrt entspricht der Gesamtheit der Strahlenpaare einer gegebenen Bewegung in \(\pi \) als Originalgebilde im Raum ein Strahlenfeld \(\alpha \), das zu \(\alpha \) \(\varPhi \)-polare Bündel \(\bar a\) und der ``\(\alpha \)-Gürtel'' (\(=\) Strahlen in \(\varrho _{1,2}\) und durch \(\alpha R\)). Analog wird die Abbildung der Punkte (Strahlenbündel) des \(R_3\) untersucht, welchen die starren Transformationen von \(\pi \) vom Typus der Umlegungen entsprechen. In Verallgemeinerung der Beziehung zwischen den starren \(\varDelta \)-Kollineationen von \(\pi \) einerseits und den Strahlen-Feldern bzw. -Bündeln des \(R_3\) andrerseits wird die Beziehung der beliebigen eigentlichen und uneigentlichen \(\varDelta \)-Kollineationen auf gewisse Originalkongruenzen des Raumes eingehend behandelt. Schließlich wird gezeigt, wie man durch Ersatz des ebenen Bildgebietes der parabolischen Bisse durch ein Strahlenbündel die projektiv allgemeinste Abbildung vom Typus der kinematischen (\textit{Blaschke}-\textit{Grünwald}) erhalten kann, wodurch auch für diese ein neues Konstruktionsverfahren gewonnen ist.