Über die Grundlagen der algebraischen Geometrie. (Q2622332)

Die Abhandlung begründet ausführlich die Behauptung, ``daß sich in der algebraischen Geometrie schon seit längerer Zeit in mehr oder weniger entwickelter Form alle Elemente vorfinden, die den Begriff ``Schnittmultiplizität'' algebraischer Mannigfaltigkeiten rein algebraisch-geometrisch mit aller Strenge und in den allgemeinsten Fällen zu definieren erlauben; und daß ferner der von mir 1912 gegebene Beweis für das Prinzip der Erhaltung der Anzahlen vollkommen allgemein ist. Es ist demnach nicht nötig, wie die Herren \textit{van der Waerden} und \textit{Lefschetz} meinen, zur Topologie als dem der Frage vor allem angemessenen Hilfsmittel zu greifen, um eine gegen alle Einwände gedeckte Begründung jener Begriffe zu geben.'' Verf. erkennt an, daß der Vielfachheitsbegriff bisher im algebraisch-geometrischen Schrifttum nicht ausdrücklich mit der bei dieser Sachlage möglichen Allgemeinheit begründet worden sei, und daß ihn die Leistungen der mit topologischen oder mit rein algebraischen Mitteln arbeitenden Forscher - besonders \textit{Lefschetz} und \textit{van der Waerden} - veranlassen, dies nachzuholen, betont aber mit gutem Grunde das Recht und das Verdienst der italienischen Schule, positive Arbeit geleistet zu haben in der Erkenntnis - oder sei es auch nur m dem Gefühl -, daß die vollständige Begründung sich werde durchführen lassen. Die Vielfachheit eines Schnittpunktes \(P\) zweier Mannigfaltigkeiten \(V\) und \(W\) wird immer wieder nach dem folgenden \textit{Grundsatz} festgestellt: Man lasse, wenn möglich, eine Mannigfaltigkeit \(V'\) in einem stetigen System gegen \(V\) so konvergieren, daß \(V'\) mit \(W\) nur einfache Schnittpunkte hat; die Vielfachheit ist die Anzahl der gegen \(P\) konvergierenden Schnittpunkte von \(V'\) und \(W\). Die Hauptsache ist nur, daß und wie sich dieser Grundsatz anwenden läßt und die nötigen Eigenschaften der Vielfachheit bewiesen werden. Verf. erinnert zunächst an die Begriffe der irreduziblen und der reduziblen algebraischen Hyperfläche, ferner an den Begriff der irreduziblen algebraischen Mannigfaltigkeit als birationaler Transformierten einer irreduziblen Hyperfläche, der reduziblen als Zusammenstellung mehrerer irreduziblen Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension. Für die Vielfachheit der Schnitte einer \(k\)- und einer \((r-k)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit im \(r\)-dimensionalen Raume liefert die Kollineationsgruppe das Mittel, den oben genannten Grundsatz anzuwenden. Mit Hilfe des \textit{Chasles}schen Korrespondenzprinzips ergibt sich der verallgemeinerte \textit{Bézout}sche Satz. Auf reduzible Mannigfaltigkeiten überträgt er sich durch Addition der Schnittzahlen. Bei den Schnittpunkten zweier Mannigfaltigkeiten \(V\) und \(W\) der Dimensionen \(k\) und \(r-k\), die auf einer irreduziblen \(r\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(M\) liegen, ist zunächst ein sinnvoller Vielfachheitsbegriff nur in den einfachen Punkten von \(M\) möglich; so beziehen sich auch die Erörterungen der ``Geometrie auf \(M\)'' immer auf ein singularitätsfreies Modell von \(M\). Dann ist der oben genannte Grundsatz nicht ohne weiteres anzuwenden, da \(V\) und \(W\) nicht die nötige Beweglichkeit zu haben brauchen. Fügt man aber zu \(V\) eine geeignete Mannigfaltigkeit \(V'\) gleicher Dimension hinzu, so ist dies mit \(V'\) und \(V+V'\) immer der Fall, und die Vielfachheit des Schnittpunktes \(P\) von \(V\) und \(W\) ist die des Schnittpunktes \(P\) von \(V+V'\) mit \(W\), vermindert um die des Schnittpunktes \(P\) von \(V'\) und \(W\). Die Betrachtung ist auch auf den Fall anwendbar, daß \(V\) und \(W\) unendlich viele gemeinsame Punkte haben. Ihre Schnittmannigfaltigkeit absorbiert dann eine bestimmte Anzahl von Schnittpunkten. Damit ist das Prinzip der Erhaltung der Anzahl begründet: Es gilt für irreduzible Bedingungen und für solche, die sich in mehrere irreduzible Bedingungen zerlegen lassen. Schließlich wird noch die Vielfachheit des Schnittes zweier Mannigfaltigkeiten erörtert, bei denen die Summe der Dimensionen kleiner ist als die Dimension der sie enthaltenden Mannigfaltigkeit. Allgemeine und persönliche Bemerkungen, die durch die Abhandlung verstreut sind, vermitteln auch dem Fernerstehenden einen lebhaften Eindruck von der Eigenart und den Leistungen des Verf. und der italienischen Schule.