Über besondere Dreiecksnetze aus Kegelschnitten. (Q2622398)

Im Anschluß an den Begriff des geradlinigen Dreiecksnetzes wird ein Kegelschnitt-Dreiecksnetz als eine in einem Teilbereich der projektiven Ebene liegende Dreieck skonfiguration mit folgenden Eigenschaften definiert: (1) Die Dreiecksseiten sind Bögen von durchlaufenden Kegelschnitten, die nicht alle zerfallen; die Dreieckswinkel sind von 0 und \(\pi \) verschieden. (2) Die Dreiecke sind wie im regulären Netz angeordnet, das aus einem Quadratmuster durch Einzeichnen einer Diagonalenschar entsteht. Die so definierten Netze werden durch folgende Forderung eingeschränkt: (3) Je drei in einer Netzreihe sich schneidende Kegelschnitte gehören einem Büschel an. Es wird bewiesen, daß alle Kegelschnitte eines solchen Netzes einem linearen System \[ \lambda A+\mu B+\nu C=0 \] entnommen sind; femer kann jedes Netz durch eine quadratische Abbildung in ein geradliniges Netz übergeführt werden. Damit wird die Bestimmung dieser Netze auf die von \textit{Graf} und \textit{Sauer} (1924; F. d. M. 50, 396 (JFM 50.0396.*); vgl. \textit{Sauer}, Die allgemeinen quadratischen Abbildungen, dargestellt durch geradlinige Dreiecksnetze, Math. Ann. 106 (1932), 722-764; F. d. M. 58) vollzogene Bestimmung der allgemeinen geradlinigen Dreiecksnetze zurückgeführt. Dann wird eine räumliche Konstruktion der allgemeinsten Kreis-Dreiecke angegeben, die der Forderung (3) genügen; jedes Netz kann nämlich durch Aufeinanderfolge einer stereographischen Projektion auf eine Kugel und einer Zentralprojektion der Kugel auf eine Ebenem geradlinige Netze übergeführt werden. Die Mittelpunkte der Kreise liegen entweder auf einer Geraden oder auf einer Kurve dritter Ordnung. Zuletzt wird ein Beispiel eines Kegelschnitt-Dreiecksnetzes angegeben, das nicht der Forderung (3) genügt.