La teoria delle serie di equivalenza sopra una superficie algebrica. I: Invarianza del concetto fondamentale. (Q2622444)

Verf. ändert gegenüber seinen früheren Untersuchungen (vgl. die vorstehend besprochene Arbeit) die Definition der Äquivalenzscharen auf einer Fläche \(F\) etwas ab, um zu einem strafferen Aufbau ihrer Theorie zu gelangen. Im \(R_r\) heißt ein kontinuierliches System von \(V_{r-2}\) der Ordnung \(m\) ein vollständiges Schnittsystem, wenn es zwei Linearsysteme von \(V_{r-1}\) gibt, unter deren variablen Schnittmannigfaltigkeiten alle \(V_{r-2}\) vorkommen; eine stetige Familie von Mannigfaltigkeiten \(V_{r-2}\) ist entweder ein vollständiges Schnittsystem oder Differenz zweier vollständiger Schnittsysteme (die sogar durch Kegel und Monoide erzeugt werden können). Diese \(V_{r-2}\) schneiden auf einer \(F\) des \(R_r\) ein System von Punktgruppen aus; auf einer Fläche muß man nun unter scheiden zwischen festen Gruppen (Fixpunkte), halbfesten Gruppen, die eine Äquivalenzschar auf einer festen Kurve von \(F\) durchlaufen, und variablen Gruppen, die beliebig auf \(F\) liegen. Eine Schar \(\sigma _n\) von Punktgruppen \(G_n\) zu je \(n\) Punkten heißt dann eine Äquivalenzschar im engeren Sinne, wenn, abgesehen von festen und halbfesten Gruppen, die \(G_n\) auf \(F\) von einer stetigen Familie von \(V_{r-2}\) ausgeschnitten werden; dieser Begriff ist wohl invariant gegenüber einer \textit{Cremona}transformation des \(R_r\), aber nicht gegenüber einer birationalen Transformation von \(F\). Eine Äquivalenzschar (im weiteren Sinne) ist eine solche, die sich als Differenz zweier Äquivalenzscharen im engeren Sinne darstellen läßt; diese Definition ist invariant gegenüber birationalen Transformationen von \(F\) und trägt dem kontinuierlichen Charakter einer Schar besser Rechnung als die früheren Definitionen. Der Invarianzbeweis beruht auf der Tatsache, daß die Summe zweier Äquivalenzscharen im engeren Sinne wieder eine Äquivalenzschar im engeren Sinne ergibt.