La teoria delle serie di equivalenza sopra una superficie algebrica. III: I punti di vista topologico e trascendente. (Q2622446)

Vom topologischen Gesichtspunkt aus (vgl. die Definitionen in den vorstehend besprochenen Arbeiten des Verf.) gilt folgendes: Ist \(\sigma _n\) eine irreduzible Schar auf \(F\), die entweder die Linearzirkulation Null, oder algebraische Flächenzirkulation oder Zyklotorsion Null hat, so teilt jede in \(\sigma _n\) enthaltene Schar \(\bar \sigma _n\) gleicher Ordnung diese Eigenschaften mit \(\sigma _n\). Alle drei Eigenschaften zugleich haben insbesondere die Äquivalenzscharen auf einer Kurve, die Äquivalenzscharen im engeren Sinne und daher auch die allgemeinen Äquivalenzscharen auf \(F\), d. h. es gilt der fundamentale Satz: Eine irreduzible Äquivalenzschar auf \(F\) hat die Linearzirkulation Null, algebraische Flächenzirkulation und die Zyklotorsion Null; sie ist daher gänzlich in einer regulären Schar enthalten, d. h. einer solchen, deren Bildmannigfaltigkeit die Flächenirregularität \(P_g-P_a=0\) hat; daher ist die Dimension eines kontinuierlichen Systems von vollständigen Äquivalenzscharen \(\leqq p_q-p_a\) von \(F\). Ob der Fundamentalsatz umkehrbar sei, bleibt noch offen. Jedenfalls folgt: Wenn die Gesamtheit aller Gruppen von \(n\) Punkten auf \(F\) eine Äquivalenzschar bildet, ist \(p_a=p_g=0\) und \(F\) frei von Torsion; es ist wahrscheinlich, aber nicht bewiesen, daß \(F\) sogar rational sei.