La teoria delle corrispondenze a valenza sopra una superficie algebrica. I: Le corrispondenze a valenza in senso proiettivo. (Q2622447)

Die Theorie der Äquivalenzscharen erlaubt das Studium der Korrespondenzen zwischen zwei Flächen \(F\) und \(F'\). \textit{Zeuthen} hat schon die speziellen Korrespondenzen behandelt, bei denen die zu \(P\) entsprechenden Punkte auf \(F\) von Raumkurven gegebener Ordnung ausgeschnitten werden. Verf. erweitert diese Definition zu einem auf \(F\) invarianten Begriff; er untersucht vorerst die Korrespondenzen \(T=(\alpha,\beta )\) auf \(F\) im \(R_r\), bei denen die Gruppe \(Y\) der \(\beta \) zu \(P\) homologen Punkte \(P'\) auf \(F\) von einer mit \(P\) stetig veränderlichen, \(P\) nicht enthaltenden Mannigfaltigkeit \(V_{r-2}(P)\) ausgeschnitten wird. Eine Gerade, die zwei unendlich benachbarte Bildpunkte \(P, P'\) verbindet, heißt Hauptgerade; die Koinzidenzpunkte \(O\) von \(T\) zerfallen dann in zwei Arten: (1) Die vollständigen, bei denen jede Tangente in \(O\) an \(F\) eine Hauptgerade von \(T\) ist, ihre Anzahl sei \(u\); (2) die unvollständigen, bei denen nur endlich viele Tangenten in \(O\) an \(F\) zugleich Hauptgeraden sind; sie erfüllen die Koinzidenzkurve \(D\) mit der Ordnung \(\omega \) und dem virtuellen Grad bzw. Geschlecht \(\nu, \pi \). Ist \(F\) von der Ordnung \(m\), sind \(E, E'\) zwei Hyperebenenschnitte, und durchläuft \(P\) die Kurve \(E\), so gibt es endlich viele Paare \(P, P'\) mit \(P'\) auf \(E'\) und endlich viele \(P'\) auf \(E'\), deren \(V_{r-2}(P)\) auf \(F\) Kurven ausschneiden (bei \textit{Zeuthen} nicht beachtet!); deren Gesamtzahl ist \(\delta \cdot m\). Dann gibt die Anwendung einer Formel von \textit{Pieri} die Verallgemeinerung der \textit{Zeuthen}schen Beziehung: \[ \alpha +\beta +\delta =u+\varrho +\nu -2\pi -2\omega +2\leqno (1) \] in invarianter Schreibung; \(\varrho \) ist dabei die Anzahl der unendlich benachbarten Paare \(P, P'\), die auf den Kurven eines Büschels liegen und nicht vollständige Koinzidenzen sind. Die Korrespondenz \(T\) läßt sich durch eine Fläche in der Mannigfaltigkeit \(W\) der Punktepaare von \(F, F'\) abbilden, ebenso die Identität \(\varOmega \) auf \(F\); die Schnittpunktsanzahl \([T,\varOmega ]\) gibt die Anzahl der Koinzidenzen von \(T\); erfüllen diese eine Kurve \(D\), so hängt die virtuelle Zahl \([T, \varOmega ]\) mit deren Charakteren zusammen; z. B. ist \[ [\varOmega,\varOmega ]=I+4 \] die \textit{Zeuthen}-\textit{Segre}sche Invariante von \(F\) bezeichnet.