La teoria delle corrispondenze a valenza sopra una superficie algebrica. II: Le corrispondenze a valenza in senso invariantivo. (Q2622448)

Eine allgemeine Korrespondenz \(T\) der Indices \(\alpha,\beta \), bei der einem allgemeinen Punkt \(P\) von \(F\) eine Gruppe \( Y\) von \(\beta \) Punkten \(P'\) entspricht, heißt von der Valenz \(\gamma \), wenn \(Y+\gamma P\) eine Äquivalenzschar beschreibt, also \(T+\gamma \varOmega \) die Valenz Null hat. Hat eine Korrespondenz zwischen \(F, F'\) in der Richtung \(F\rightarrow F'\) die Valenz Null, so hat sie auch in der Richtung \(F'\rightarrow F\) die Valenz Null. \(T\) und \(T^{-1}\) haben als Korrespondenzen auf \(F\) die gleiche Valenz. Haben \(T_1\) und \(T_2\) die Valenzen \(\gamma _1,\gamma _2\), so ist die Valenz von \(T_1+T_2\) gleich \(\gamma _1+\gamma _2\), die von \(T_1\cdot T_2\) gleich \(-\gamma _1\cdot \gamma _2\); daher kann man aus einer rationalen Involution auf \(F\) Korrespondenzen mit beliebiger Valenz \(\gamma \gtreqqless 0\) herstellen. Eine Korrespondenz auf \(F\) kann auch mehrere Valenzen haben (z. B. auf einer rationalen \(F\)); dafür ist notwendig \(p_a=p_g=0\). Eine besondere Untersuchung erfordern die oben eingeführten verallgemeinerten \textit{Zeuthen}schen Korrespondenzen, bei denen unter den \(V_{r-2}(P)\) solche vorkommen, die mit \(F\) unendlich viele Punkte gemein haben; jede solche Korrespondenz \(T\) läßt sich in ein kontinuierliches System \(\varSigma \) von Korrespondenzen \(T'\) einbetten, so daß \(T'\) jeden Hyperebenenschnitt von \(F\) in eine zum \(\delta \)-fachen Schnitt äquivalente Kurve verwandelt; \(\delta \) heißt der Rang von \(T'\) und \(T\); die virtuelle Anzahl der Koinzidenzen von \(T\), die durch die Formel (1) des vorstehenden Referats gegeben wird, ist \(\alpha +\beta +\delta \). Beispiel einer solchen Korrespondenz auf einer \(F_2\) des \(R_3\).