La teoria delle corrispondenze a valenza sopra una superficie algebrica. III: Il principio di corrispondenza. (Q2622449)

Ist \(T\) von der Valenz 0, so kann man schreiben: \[ T=S_1-S_2-U-V,\leqno (2) \] wobei \(S_1, S_2\) \textit{Zeuthen}sche Korrespondenzen sind, deren Gruppen einer Äquivalenzschar im engeren Sinne angehören, \(U, V\) ausartende Korrespondenzen, die \(P\) eine auf einer Kurve \(\varGamma \) halbfeste, bzw. eine feste Gruppe zuordnen. Dann definiert man als Rang von \(V\!\!:\delta V = 0\) und als \(\delta U\) die Anzahl der Punkte \(P\) von \(\varGamma \), die einen festen Punkt \(P'\) von \(\varGamma \) als Bildpunkt in der Korrespondenz \(U\) haben. Man definiert weiter als Rang von \(T\): \[ \delta T=\delta S_1-\delta S_2-\delta U-\delta V. \] \(\delta T\) ist unabhängig von der Zerlegung (2) und hängt mit der virtuellen Anzahl der Koinzidenzpunkte \([T, \varOmega ]\) durch die Beziehung \[ [T,\varOmega ]=\alpha +\beta +\delta T\leqno (3) \] zusammen. Da \(\delta \varOmega =1\) ist, läßt sich jetzt der Rang einer Korrespondenz \(T\) mit positiver Valenz \(\gamma \) bestimmen, da \(T+\gamma \varOmega \) die Valenz Null und den Rang \(\delta T+\gamma \) hat; es folgt die fundamentale Relation \[ [T,\varOmega ]=\alpha +\beta +\delta T-\gamma (I+1),\leqno (4) \] die auch für \(T\) mit negativen Valenzen gilt, bei denen man ja durch Addition einer komplementären Korrespondenz \(S\) mit positiver Valenz zu einer nullvalenten Korrespondenz gelangen, also den Rang analog definieren kann. Man folgert aus (4), daß die Koinzidenzkurve \(D\) von \(T\) zu der virtuellen Zahl \([T,\varOmega ]\) den Beitrag \(\varrho +\nu -2\pi -2\omega +2\) liefert (vgl. Formel (1) aus dem Referat von Teil I der Arbeit). Sinngemäß erhält die Identität \(\varOmega \) die Valenz \(-1\). Der Rang \(\delta T\) ist eine relative Invariante bei birationalen Transformationen von \(F\), und bei jeder durch eine solche Transformation neu entstandenen ausgezeichneten Kurve nimmt \([T, \varOmega ]-\delta T\) um \(\gamma \) Einheiten ab.