Significato funzionale del gruppo virtuale dei punti uniti nelle corrispondenze a valenza sopra una superficie. (Q2622450)

Nunmehr gelingt auch die funktionale Deutung der virtuellen Koinzidenzpunktgruppe \((T, \varOmega )\) auf \(F\). Eine Korrespondenz, die jedem Punkt \(P\) von \(F\) eine auf einer Kurve \(\varGamma '\) von \(F'\) halbfeste Gruppe \(G\) von \(\beta \) Punkten zuordnet, heißt ausgeartet (von erster Art) mit den Indices \(0, \beta \). Jede Korrespondenz \(T (\alpha, \beta )\) der Valenz Null laßt sich nun (innerhalb der Mannigfaltigkeit der Punktepaare von \(F, F'\) gedeutet) in ein Äquivalenzsystem einbetten, das die Summe der ausgearteten Korrespondenzen \(T_1(0,\beta )+T_2(\alpha,0)\) gänzlich enthält. Läßt man \(F\) und \(F'\) zusammenfallen, so ist also die Gruppe \((T,\varOmega )\) äquivalent zu \((T_1,\varOmega )+(T_2,\varOmega )\). \(T_1\) induziert aber auf \(\varGamma '\) eine Korrespondenz \(\bar T_1\) von gleichem Rang und Valenz Null, und daher ist \((T_1,\varOmega )\) äquivalent der Summe einer Gruppe \(G\) und einer Gruppe \(G_1\) von Punkten auf \(\varGamma '\), deren Bildpunkt ein fester Punkt von \(\varGamma '\) ist. Da \[ \delta T=\delta T_1+\delta T_2 \] ist, ergibt sich eine neue einfache Berechnungsmöglichkeit des Ranges. Hat \(T\) Valenz \(\gamma \neq 0\), so ist \(T+\gamma \varOmega \) wie oben zu zerlegen. Schließlich ist in der Gruppe \((T, \varOmega )\) die Koinzidenzkurve \(D\) funktional äquivalent einer zu \(Z-K\) äquivalenten Punktgruppe, wobei \(Z\) die Gruppe der \( z\) Punkte von \(D\) bedeutet, in denen die Tangente an \(D\) zugleich Hauptgerade von \(T\) ist und \(K\) eine kanonische Gruppe \(G_{2\pi -2}\) von \(D\) bezeichnet. Die numerische Äquivalenz \(z-2\pi +2\) von \(D\) deckt sich mit der früher gefundenen.