L'hypothése du continu et la propriété de Baire. (Q2622520)

Bekanntlich erfüllt eine Menge \(E\) die ``\textit{Baire}sche Bedingung'', wenn für jede perfekte Menge \(P\) eine Kugel \(S\) existiert (die in ihrem Innern Punkte von \(P\) enthält) derart, daß mindestens eine der beiden Mengen \(SPE\) und \(SP-E\) von erster Kategorie bezüglich \(P\) ist. Ferner besitzt eine Funktion \(f(x)\) die ``\textit{Baire}sche Eigenschaft'', wenn sie auf jeder perfekten Menge \(P\) stetig ist, sofern man die Mengen von erster Kategorie bezüglich \(P\) vernachlässigt. Verf. gewinnt aus der Kontinuumshypothese die folgenden bemerkenswerten Sätze: (1) Auf der \(y\)-Achse existiert eine Menge \(G\), welche die \textit{Baire}sche Bedingung erfüllt, während die ebene Menge aller Parallelen zur \(X\)-Achse durch die Punkte von \(G\) nicht die \textit{Baire}sche Bedingung erfüllt. (2) Es existiert eine Funktion \(f(x)\) mit der \textit{Baire}schen Eigenschaft, deren geometrisches Bild eine ebene Menge darstellt, die nicht der \textit{Baire}schen Bedingung genügt. (3) Es existieren eine Funktion \(\varphi (x)\) mit der \textit{Baire}schen Eigenschaft und eine stetige Funktion \(\psi (x)\), derart, daß die Funktion \(\varphi [\psi (x)]\) nicht die \textit{Baire}sche Eigenschaft besitzt. (4) Jede lineare Menge ist ein eineindeutiges und stetiges Bild einer linearen Menge, die der \textit{Baire}schen Bedingung genügt. Die Beweise sind nur angedeutet und werden an anderm Orte ausführlicher veröffentlicht werden. (IV 3 C.)