Sur un théorème de recouvrement dans la théorie générale des ensembles. (Q2622521)

Ein früher von \textit{Ulam} (Zur Maßtheorie in der allgemeinen Mengenlehre; Fundamenta 16 (1930), 140-150; F. d. M. 56\(_{\text{II}}\)) für die Mengen \(Z\) von der Mächtigkeit \(\aleph _1\) bewiesener (und für die allgemeine Maßtheorie wesentlich benutzter) Satz wird hier von \textit{Sierpiński} für die Mengen \(Z\) bewiesen, deren Mächtigkeit kleiner ist als die erste ``unerreichbare'' Kardinalzahl: (Dabei heißt \(\aleph _a\) ``unerreichbar'', wenn sie sich nicht als Summe von Kardinalzahlen \(<\aleph _a\), wobei die Anzahl der Summenden auch \(<\aleph _a\) ist, darstellen läßt, und wenn der Index \(\alpha \) eine Grenzzahl ist.) Der Satz lautet: Werden alle Teilmengen von \(Z\) in zwei Klassen \(M\) und \(N\) so eingeteilt, daß es in \(M\) höchstens abzählbar viele elementenfremde Mengen gibt, so existieren in \(N\) abzählbar viele Mengen \(\{A_n\}\), für welche die Menge \((Z-\sum _{n=1}^\infty A_n)\) höchstens abzählbar ist. \textit{Ulam} zieht aus dem Resultat von \textit{Sierpiński} einige Folgerungen, insbesondere: Ist \(Z\) von zweiter Kategorie (oder von positivom äußerem Maß), so enthält \(Z\) nicht-abzählbar viele, elementenfremde Mengen, die ebenfalls von zweiter Kategorie (bzw. von positivem äußerem Maß) sind.