Note on an ``alternant'' with factorial elements. (Q2622584)

Es seien \(a,b,c,\dots,z;\alpha,\beta,\gamma,\dots,\omega \) ganze Zahlen, die den Bedingungen \[ \begin{matrix} a>b>c>\cdots >z\geqq 0, \\ \alpha >\beta >\gamma >\dots >\omega \geqq 0, \\ a\geqq \alpha, b\geqq \beta, c\geqq \gamma,\dots,z\geqq \omega \end{matrix} \tag{1} \] genügen; zur Abkürzung wird \[ a^{(\alpha )}=a(a-1)(a-2)\cdots (a-\alpha +1), \quad a^{(0)}=0^{(0)}=1 \tag{2} \] gesetzt und außerdem verabredet, daß \(a^{(\alpha )}\) mit einem negativen Index gleich Null ist. Verf. betrachtet die Determinante \[ \left (\begin{matrix} a&b&c&\cdots &z\\ \alpha &\beta &\gamma &\cdots &\omega \end{matrix} \right )= \left |\begin{matrix} a^{(\alpha )} & b^{(\alpha )} & \cdots & z^{(\alpha )} \\ a^{(\beta )} & b^{(\beta )} & \cdots & z^{(\beta )} \\ \vdots & \vdots & \cdots &\vdots \\a^{(\omega )} & b^{(\omega )} & \cdots & z^{(\omega )} \end{matrix} \right | \] und beweist, daß sie unter den Voraussetzungen (1) stets positiv ist. Als Anwendung betrachtet Vef. das Polynom \[ \varphi (x) = Ax^a+Bx^b+\cdots +K, \] das genau die \(n\) von Null verschiedenen Koeffizienten \(A,B,\dots, K\) enthält. \(\varphi (x)\) kann nicht mehr als \(n-2\) seiner Ableitungen eine Wurzel gemein haben. (III 3.)