Bemerkungen zur Transformation von komplexen symmetrischen Matrizen. (Q2622591)

Da eine symmetrische Matrix \(S\) mit komplexen Elementen im allgemeinen nicht normal ist, so läßt sich eine solche Matrix nicht immer durch eine unitäre Matrix auf Diagonalform bringen. Es gilt indes, wie Verf. zeigen, folgender Satz: Man kann stets zu \(S\) eine unitäre Matrix \(U\) angeben, so daß die Gleichung besteht: \[ USU'=D, \] wobei \(D\) die Diagonalmatrix darstellt; die absoluten Beträge der Diagonalelemente von \(D\) sind dabei gleich den positiven Quadratwurzeln aus den absoluten Beträgen der charakteristischen Wurzeln von \(S\bar S\) in einer gewissen Reihenfolge; \(U\) setzt sich zusammen aus einer reellen orthogonalen und einer \(S\bar S\) auf Diagonalform bringenden unitären Matrix. Ref. erscheint der Beweis der Verf. ziemlich mühsam; benutzt man nämlich den von den Verf. in der zweiten Bemerkung neu bewiesenen, an sich nicht sehr tief liegenden Satz, der sehr leicht unabhängig bewiesen werden kann, so kann der obige Satz auf fast triviale Weise nachgewiesen werden: \(S\bar S\) ist offenbar eine \textit{Hermite}sche Matrix, kann also mit einer unitären Matrix \(V\) auf Diagonalform gebracht werden: \[ VS\bar S \bar V' = C; \] \(C\) ist reell. Setzt man nun \(VSV'=X\), so ist \(X\) symmetrisch und normal: \(X\bar X=\bar XX=C\). Ist weiter \(X=A+iB\), so sind \(A,B\) reell, symmetrisch und miteinander vertauschbar, können also simultan durch eine reelle orthogonale Matrix \(W\) auf Diagonalform gebracht werden; also ist \(WXW'=D\). Nun liest man aber aus \[ U=VW, \quad USU'=D, \quad D\bar D=WCW' \] die Behauptungen des Satzes unmittelbar ab.