A product of a circulant matrix and a special diagonal matrix. (Q2622596)

In der Arbeit ``The product of a circulant matrix and a special diaginal matrix'' (Amer. Math. Monthly 39 (1932), 280-285; F. d. M. 58) hat \textit{J. Wiliamson} den folgenden Satz bewiesen: Ist \(A\) eine zyklische Matrix: \[ A=\left (\begin{matrix} a_0&a_1&\cdots &a_{n-1} \\ a_{n-1}&a_0&\cdots &a_{n-2} \\ \vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\ a_1&a_2&\cdots &a_0 \end{matrix} \right ) \] und \(Z\) diejenige Diagonalmatrix mit \(n\) Zeilen, bei der die Elemente der Hauptdiagonale der Reihe nach \(1,\omega,\omega ^2,\dots,\omega ^{n-1}\) (\(\omega =\) primitive \(n\)-te Einheitswurzel) lauten, so genügt die Matrix \(ZA\) der Gleichung \[ (ZA)^n-|A|E=0. \] Dabei bedeutet \(E\) die Einheitsmatrix und \(|A|\) die Determinante der Matrix \(A\). Verf. gibt hier für diesen Satz einen wesentlich einfacheren, mit den charakteristischen Wurzeln der Matrix \(ZA\) operierenden Beweis.