Regular compound polytopes in more than four dimensions. (Q2622601)

Unter einem zusammengesetzten Polytop wird ein System konzentrischer regulärer Polytope \(\Pi \) verstanden, die paarweise unter der Symmetriengruppe des Systems kongruent sind. Ein zusammengesetztes Polytop heißt eckenregulär, wenn seine Ecken die Ecken, seitenregulär, wenn seine Seiten die Seiten eines regulären Polytops \(\pi \) sind. Für mehr als vier Dimensionen treten nur die folgenden Fälle auf: (1) Die \(\Pi \) sind Simplexe; das zusammengesetzte Polytop ist gleichzeitig ecken- und seitenregulär, \(\pi \) bzw. ein Maßpolytop und ein Hyperoktaeder; diese Konfiguration ist selbst-dual. (2) die \(\Pi \) sind Hyperoktaeder; das zusammengesetzte Polytop ist eckenregulär; \(\pi \) ist ein Maßpolytop; und dual dazu: (3) die \(\Pi \) sind Maßpolytope; das zusammengesetzte Polytop ist seitenregulär; \(\pi \) ist ein Hyperoktaeder. Diese Konfigurationen hängen nun eng mit den von \textit{Paley} studierten Matrizen, sowie mit den von \textit{Todd} studierten Gruppen (vgl. die beiden vorstehenden Referate) zusammen. Jeder \(m\)-reihigen orthogonalen Matrix mit Elementen \(\pm 1\) ist eine Konfiguration der ersten Art in \(m-1\) Dimensionen, und je eine der zweiten und dritten Art in \(m\) Dimensionen eineindeutig zugeordnet. Die Anzahl \(D\) der nötigen Polytope \(\Pi \) läßt sich in einer Reihe von Fällen mit Hilfe der \textit{Todd}schen Ergebnisse berechnen. So erhält Verf. in einem 15-dimensionalen Fall für \(D\) genau 64 561 751 654 400; Ref. hat es sich versagt, die Rechnung nachzuprüfen. (V 3.)