Sulla compatibilità dei sistemi di equazioni algebriche. (Q2622627)

Ein strenger vollständiger Beweis des folgenden Satzes: \[ f_i(x_1,\dots,x_r;\lambda _1,\dots,\lambda _s)=0\qquad (i=1,\dots,r) \tag{1} \] seien \(r\) in den \(x_i\) algebraische Gleichungen mit in den \(\lambda _k\) rationalen Koeffizienten; besitzen (1) für \(\lambda _k=\lambda _k^0\;(k=1,\dots,r)\) eine isolierte Lösung \(x_i=x_i^0\) (in deren Nachbarschaft keine weiteren Lösungen fallen), so sind die Gleichungen (1) verträglich für ein allgemeines Wertsystem der \(\lambda _k\). Gedankengang: Zunächst wird unter Benutzung der \textit{Kronecker}schen Eliminationstheorie gezeigt, daß, wenn die Gleichungen (1) für ein allgemeines System \(\lambda _k\) unverträglich sind die Wertesysteme \(\lambda _k^0\), für die (1) verträglich sind, eine endliche Anzahl algebraischer irreduzibler Mannigfaltigkeiten der Dimension \(\leqq s-1\) erfüllen. Unter den Voraussetzungen unseres Satzes bildet \(x_i^0,\lambda _k^0\) einen Punkt \(A\) im \(R_{r+s}\), für den (1) erfüllt ist, und der auf der Schnittmannigfaltigkeit \(V_s\) der \(r\) Hyperflächen (1) der \(R_{r+s}\) liegt. Jeder \(R_r\) mit \(\lambda _1=\lambda '_1, \lambda _2=\lambda _2^0,\dots,\lambda _s=\lambda _s^0\) schneidet, wenn \(\lambda _1'\) nahe an \(\lambda _1^0\) liegt, \(V_s\) in einem Punkte nahe bei \(A\); also sind die Gleichungen (1) in einer \(s\)-dimensionalen Umgebung des Systems \(\lambda _k^0\),somit für allgemeine \(\lambda _k\)-Systeme verträglich; die \(\lambda \)-Systeme, für die (1) im Endlichen nicht lösbar sind, bilden dann endlich viele Mannigfaltigkeiten von höchstens \((s-1)\)-ter Dimension. Diese Sätze gelten auch noch, wenn (1) die \(\lambda \) nur algebraisch enthält, und sie gelten, bei Einschränkung auf eine passende Umgebung von \(x_i^0, \lambda _k^0\), selbst wenn die \(f_i\) holomorphe Funktionen der \(x_i\) sind (\textit{Poincaré-Osgood}). (V 5 F.)