A generalisation of a theorem of E. Toeplitz. (Q2622666)

In \(2n\)-ären Gebiete (\((2n-1)\)-dimensionaler projektiver Raum) seien drei quadratische Hyperflächen gegeben durch \(f_i = 0\): \[ f_1 = \sum a_{ik} x_i x_k = a_x^2,\;f_2 = \sum b_{ik} x_i x_k = b_x^2,\;f_3 = \sum c_{ik} x_i x_k = c_x^2. \] Sie besitzen eine simultane Invariante \(I\) vom Grade \(n\) in den Koeffizienten jeder der Formen, die symbolisch durch \[ I = (a_1a_2\cdots a_n b_1 b_2\cdots b_n)(b_1\cdots b_n c_1\cdots c_n)(c_1\cdots c_n a_1\cdots a_n) \] dargestellt werden kann, wo \(a_1,a_2,a_3,\ldots \) äquivalente Symbolreihen sind. Es wird bewiesen, daß \(I = 0\) notwendig un hinreichend ist für die Existenz einer kubischen Hyperfläche \(t_x^3 = 0\) und dreier Punkte \(\xi,\eta, \zeta \) derart, daß \(f_1,f_2\) und \(f_3\) bzw. mit den quadratischen Polaren \(t_x^2 t_\xi,t_x^2 t_\eta \) und \(t_x^2 t_\zeta \) zusammenfallen, ein Resultat, das für \(n = 2\) schon von \textit{E. Toeplitz} (1877; F. d. M. 9, 549 (JFM 09.0549.*)) gefunden wurde. (V 5 F.)