Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe. (Q2622675)

Eine nichtkommutative Gruppe heißt im Anschluß an \textit{Dedekind} (1897; F. d. M. 28, 129 (JFM 28.0129.*)-130) eine \textit{Hamiltons}che Gruppe, wenn ihre sämtlichen Untergruppen Normalteiler sind. Alle Elemente einer \textit{Hamiltons}chen Gruppe haben, wie Verf. beweist, endliche Ordnung. Jede \textit{Hamiltons}che Gruppe ist das direkte Produkt \[ \mathfrak {Q} \times \mathfrak {G} \times \mathfrak {U}, \] wobei \(\mathfrak {Q}\) eine Quaternionengruppe, \(\mathfrak {G}\) eine kommutative Gruppe mit nur Elementen der Ordnung 2 und \(\mathfrak {U}\) eine solche mit nur Elementen ungerader Ordnung sind. Ziel des Verf. ist, zu zeigen, wie weit höchstens abzählbare kommutative und \textit{Hamiltons}che Gruppen durch die Situation ihrer Untergruppen bestimmt sind. Als Gruppen von gleicher Situation werden solche definiert, die situationstreu aufeinander beziehbar sind, ebenso wie isomorph aufeinander beziehbare Gruppen als von gleicher Struktur gelten. Durch jeden einstufigen Isomorphismus zweier Gruppen wird auch eine situationstreue Abbidlung der beiden Gruppen aufeinander induziert, während das Umgekehrte nicht zutrifft (vgl. \textit{A. Rottlaender}, 1928; F. d. M. 54, 144 (JFM 54.0144.*)). Unter Hinzunahme der erst nach Niederschrift des vorliegenden Aufsatzes veröffentlichten Resultate von \textit{H. Ulm} (vgl. das folgende Referat) gewinnt Verf. als Endergebnis: Die Struktur höchstens abzählbarer abelscher Gruppen mit nur Elementen von endlicher Ordnung sowie die Struktur höchstens abzählbarer \textit{Hamiltons}cher Gruppen ist durch die Situation der Untergruppen bestimmt.