Nichtkommutative Algebra. (Q2622706)

Es wird die algebraische Theorie der hyperkomplexen Systeme (Algebren), insbesondere der halbeinfachen und einfachen Systeme, über einem beliebigen kommutativen Koeffizientenkörper \(P\) einheitlich mit neuen rein begrifflichen Methoden entwickelt. Das neue methodische Grundprinzip ist etwa folgendes: Anstatt, wie bisher fast durchweg, die Matrizendarstellungen eines einfachen Systems \(A\) über dem Zentrum \(P\) in kommutativen Erweiterungskörpern \(K\) von \(P\) inden Vordergrund zu stellen, werden die Matrizendarstellungen dieser \(K\) in dem \(A\) zugeordneten nichtkommutativen Körper \(K\) (über dem \(A\) voller Matrizenring ist) betrachtet. Diesen Darstellungen sind \(K\)-Links-, \(K\)-Rechtsmoduln als Darstellungsmoduln zugeordnet. Durch Übergang zur reziproken Darstellung gelangt man aber zu einem \(K \times K'\)-Rechtsmodul mit dem direkten Produkt aus \(K\) und dem reziprok-isomorphen Körper \(K'\). Die Struktur dieses direkten Produkts ergibt dann eine Übersicht über die Darstellungen und umgekehrt. Nach einer allgemeinen Einführung in die Theorie der Automorphismen, Moduln und Doppelmoduln wird zunächst unter ganz allgemeinen Voraussetzungen die Theorie der direkten und reziproken Darstellungen entwickelt. Diese wird dann zur Begründung der Darstellungstheorie hyperkomplexer Systeme (mit Einselement) angewendet, aus der sich insbesondere die Strukturtheorie einfacher und halbeinfacher Systeme ergibt. Weiter wird dann die Verallgemeinerung der \textit{Galois}schen Theorie auf einfache Systeme aus den allgemeinen Automorphismen- und Modulsätzen hergeleitet. Deren Hauptsatz lautet: Die einfachen Teilsysteme \(S\) über \(P\) eines einfachen Systems \(A\) über \(P\) als Zentrum sind den einfach abgeschlossenen Untergruppen \(\mathfrak {H}\) der \textit{Galois}schen Gruppe \(\mathfrak {G}\) von \(A\) umkehrbar eindeutig durch die gegenseitige Invarianzbeziehung zugeordnet. Dabei ist \(\mathfrak {G}\), die Automorphismengruppe von \(A\), isomorph zur Faktorgruppe \(A^\ast /P^\ast \) der regulären Elemente aus \(A\) in bezug auf die von Null verschiedenen Elemente aus \(P\), und eine Untergruppe \(\mathfrak {H} \cong H^\ast /P^\ast \) von \(\mathfrak {G}\) heißt einfach-abgeschlossen, wen \(H^\ast \) aus der Gesamtheit der regulären Elemente eines einfachen Teilsysteme \(H\) von \(S\) über \(P\) besteht. Weiter wird dann die Theorie der \textit{R. Brauers}chen Klassengruppe und der Zerfällungskörper eines einfachen Systems auf diesen Grundlagen entwickelt. Insbesondere wird ein neuer, vereinfachter, von Rechnungen freier Beweis für den \textit{Köthes}chen Satz von der Existenz separabler Zerfällungskörper vom Minimalgrad gegeben. Zum Schluß wird auch die \textit{Galois}sche Theorie kommutativer Körper \(Z\) nach entsprechendem Schema entwickelt, nänmlich durch Studium der Darstellungen kommutativer Körper \(K\) in \(Z\) auf Grund der allgemeinen Darstellungstheorie. Die Verbindung dieser Theorie mit dem Vorhergehenden ergibt dann noch die Theorie der Zerfällungs- und Abspaltungskörper beliebiger hyperkomplexer Systeme (mit Einselement). Im Gegensatz zu allen bisherigen Begründungen der Theorie wird keinerlei durch die Charakteristik bedingte Einschränkung über den Koeffizientenkörper gebraucht.