On the classification of algebras. (Q2622715)

Es wird ein neuer Vorstoß in das Gebiet der Algebren mit unendlicher Basis gemacht. Als Koeffizientenkörper dient der Körper der komplexen bzw. der der reellen Zahlen. Unter der Allgemeinen Polynomalgebra der Klasse \(r\) mit den primitiven Elementen \(e_1,\ldots,e_r\) wird die nicht-kommutative Verallgemeinerung des Polynomringes in \(r\) Variablen \(e_1,\ldots,e_r\) verstanden, d. h. die Algebra aus allen endlichen Summen von (assoziativen, nicht-kommutativen) Potenzprodukten der \(e_i\) mit komplexen bzw. reellen Koeffizienten sowie einem komplexen bzw. reellen Summanden. (Benutzt man den \textit{Frobenius}schen verallgemeinerten Gruppenbegriff, der auf die Existenz von Inversen verzichtet, und verallgemeinert man den Begriff des Gruppenringes entsprechend, was ohne weiters zulässig ist, so handelt es sich hier also einfach um den Gruppenring einer freien Gruppe von \(r\) Erzeugenden mit Einheitselement, jedoch ohne Inverse.) In diesen Algebren werden Restklassenringe nach (zweiseitigen) Idealen betrachtet; das Minimum der Grade der ein solches Ideal erzeugenden Polynome heißt der Grad der Restklassenalgebra. Die Algebren der Klasse \(1\) sind kommutative Hauptidealringe leicht angebbarer Struktur. Dagegen sind die Algebren der Klasse \(2\) bereits unübersehbar. Z. B. sind unter ihnen schon alle Algebren ohne Radikal mit endlicher Basis enthalten. Daher werden nur Algebren vom Grade \(2\) näher untersucht. Zuerst wird die Restklassenalgebra modulo dem von \(e_1e_2 - e_2e_1 - 1\) erzeugten Ideal genauer behandelt. Sie ist einfach und nullteilerfrei. Ihre Elemente lassen sich eideutig auf die Normalform \[ \sum a_{mn} e_1^m e_2^n \] bringen. Bei der Aufstellung der Normalform für das Produkt zweier Normalformen ergeben sich nebenbei einige (bereits bekannte) Tatsachen über verallgemeinerte hypergeometrische Reihen. Man kann die Algebra durch Zulassung unendlicher Summen in der Normalform erweitern; auch existiert der Quotienten(schief)körper. - Dann werden die Restklassenalgebren nach Idealen, die \(e_1e_2 - \mu e_2 e_1 (\mu \) komplex) enthalten, kurz diskutiert; zu diesen gehören die endlichen vollen Matrizenalgebren. Dabei erweisen sich einige Feststellungen von \textit{Wedderburn} (1924; F. d. M. 50, 40 (JFM 50.0040.*)) als unrichtig. - Schließlich werden die Algebren (der Klasse und) des Grades \(2\) allgemein angegriffen. Außer den beiden genannten Typen gibt es noch acht weitere, je nach dem definierenden Polynom zweite^^87n Grades, das in dem zweiseitigen Ideal, modulo dem gerechnet wird, enthalten ist. Unter zwei der Typen finden sich Algebren, die allgemeine Polynomalgebren der Klasse \(2\) (vgl. oben) enthalten; daher dürfte die nähere Klassifizierung dieser Algebren wohl nicht einfacher sein, als die der Algebren der Klasse \(2\) überhaupt. - Die Arbeit hat Berührungspunkte mit der Arbeit von \textit{Kermack} und \textit{McCrea} ``On Professor Whittaker's solution of differential equations by definite integrals'' (Proceedings Edinburgh M. S. (2) 2 (1931), 205-240; F. d. M. 57).