Erweiterung des Zentrums einfacher Algebren. (Q2622717)

Die vorliegende Arbeit schließt sich in den Beweismethoden an die Arbeit von \textit{Hasse}, Die Struktur der R. Brauerschen Algebrenklassen über einem algebraischen Zahlkörper (Math. Ann. 107 (1933), 731-760; F. d. M. \(59_{\text{II}}\)) an. Das Ergebnis ist das folgende: Man kann die Invarianten einer Algebra \(A_K\), die aus einer einfachen Algebra \(A\) über dem Zentrum \(k\) durch endliche Erweiterung von \(k\) zu \(K\) entsteht, durch die Invarianten von \(A\) bestimmen, und zwar in der folgenden Weise: Bedeutet \(K_{\mathfrak {P}}\), die \(\mathfrak {P}\)-adische Erweiterung von \(K, \mathfrak {p}\) die zu \(\mathfrak {P}\) in \(k\) gehörige Primstelle, ist \(n_{\mathfrak {P}}\) der Grad von \(K_{\mathfrak {P}}\) in bezug auf \(k_{\mathfrak {p}}\), dann ist \[ \left (\frac {A_K}{\mathfrak {P}}\right ) = n_{\mathfrak {P}} \cdot \left (\frac {A}{\mathfrak {p}}\right ). \] Man kann jede Algebrenklasse über \(K_{\mathfrak {P}}\) aus einer Algebrenklasse über \(k_{\mathfrak {p}}\) durch Erweiterung erhalten. Dieser Satz gilt aber nicht mehr im Großen: Es gibt zu jedem Körper \( K > k\) eine Algebrenklasse \(\mathfrak {B}\), die aus keiner Algebrenklasse \(\mathfrak {A}\) über \(k\) durch Erweiterung zu \(A_K\) entsteht. Aus dem letzten Satz folgt, daß es zu jedem Körper \(K > k\) eine Divisionsalgebra mit \(K\) als Zentrum gibt, die in keiner Divisionsalgebra mit dem Zentrum \(k\) als Teilalgebra enthalten ist: Es können also nicht alle Divisionsalgebren mit algebraischem Zentrum aus Gruppenringen gewonnen werden.