Zahlkörper, in denen die Einführung von Idealen nicht nötig ist. (Q2622853)

Der vorliegende Bericht hat folgenden Inhalt: Es gibt bekanntlich gewisse negative ganze Zahlen \(d\), für die die ganzen Zahlen des Körpers \(R(\sqrt d)\) sich auf eine und (abgesehen von der Reihenfolge) auf nur eine Weise in unzerlegbare Faktoren zerlegen lassen, für die also in dem Körper \(R(\sqrt d)\) die Einführung von Idealen nicht nötig ist. \textit{Gauß} hat die Werte \( d = -1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\) gefunden und die Vermutung ausgesprochen, daß die Folge dieser negativen \(d\) abbricht - eine Vermutung, die bisher nicht bewiesen worden ist. In einem Vortrag vor dem internationalen Mathematikerkongreß in Zürich (1932) hat nun \textit{Deuring} als Ergebnis eigener Untersuchungen mitgeteilt, daß aus der Unrichtigkeit dieser \textit{Gauß}schen Vermutung die Richtigkeit der \textit{Riemanns}chen Vermutung folgt (vgl. \textit{M. Deuring}, Imaginäre quadratische Zahlkörper und die Nullstellen der \textit{Riemanns}chen Zetafunktion, Verhandlungen Kongreß Zürich 2 (1932), 4-5; F. d. M. 58).