Asymptotic partition formulae. I: Plane partitions. II: Weighted partitions. (Q2622863)

Die Arbeiten beziehen sich auf den von \textit{MacMahon} (Combinatory analysis II (1916; F. d. M. 46, 108 (JFM 46.0118.07)), p. 173-243) eingeführten Begriff der ``plane partition''. In der ersten Arbeit wird für die Anzahl \(q(n)\) der unbeschränkten ``plane partitions'' der natürlichen Zahl \(n\) eine asymptotische Entwicklung angegeben, die den Ergebnissen von \textit{Hardy} und \textit{Ramanujan} für die Anzahl der ``line partitions'', d. h. der Zerlegungen einer ganzen Zahl in beliebig ganze positive Summanden, ähnlich ist. Die sich als asymptotische Entwicklung von \(q(n)\) ergebende Formel ist mit \textit{Bernoulli}schen Zahlen, deren Zusammenhang mit der Zetafunktion beim Beweis eine Rolle spielt, behaftet. Der zweiten Arbeit liegt die auf Veranlassung von \textit{Hardy} eingeführte Erweiterung des Begriffs der ``plane partition'' zur ``weighted partition'' zugrunde. Es handelt sich dabei um folgendes: Die zur Darstellung zugelassene Folge positiver ganzer Zahlen sei \[ \mu _1,\mu _2,\mu _3,\dots,\tag{\(^*\)} \] und diesen Zahlen seien die Gewichte \[ \lambda _1,\lambda _2,\lambda _3\dots \tag{\(^{**}\)} \] zugeordnet; dann werde z. B. die Darstellung \[ n=2\mu _h + \mu _j + \mu _k \] mit \(\lambda ^2_h\lambda _j\lambda _k\) gezählt. Verf. betrachtet insbesondere den Fall, daß \((^*)\) alle positiven ganzen Zahlen umfaßt, und daß die \(\lambda _\nu \) einander gleich und positiv, etwa gleich \(a\), sind. Er zeigt, daß für \(a>a_0\), wo \(a_0\) positive Wurzel der Gleichung \[ \frac {1}{\log x}\biggl (\frac {\pi ^2}{3}-\sum _{m=1}^\infty \frac {1}{m^2x^m}\biggr ) -\frac {\log x}{2}=0 \] ist, eine elementar zugängliche Entwicklung für die mit Gewichten der betrachteten Art gebildete Partitionenanzahl \(p_a(n)\) absolut konvergent ist; dies ergibt sich ohne analytische Hilfsmittel. Für \(a=a_0\) erfordert die Konvergenzbetrachtung eine tiefere Methode; zur Vereinfachung verwendet Verf. sogar den an sich entbehrlichen \textit{Cauchy}schen Satz. Für \(1<a<a_0\) liefert die nunmehr divergierende Reihe zwei asymptotische Formeln für \(p_a(n)\), eine mit \textit{Bessel}schen Funktionen gebildete Reihenentwicklung und eine Entwicklung nach fallenden Potenzen von \(\sqrt n\); hier verfährt Verf. ähnlich wie \textit{Hardy} und \textit{Ramanujan} für \(a=1\) (Proceedings L. M. S. (2) 17 (1917), 75-115; F. d. M. 46, 198--201 (JFM 46.0198.02)). Wie Verf. in einem Anhang nachweist, sind die Ergebnisse auch für andere Fälle typisch.