The zeta-function of Riemann: Further developments of van der Corput's method. (Q2622867)

Die beiden Hauptergebnisse der Arbeit sind die Abschätzungen \[ \zeta \Bigl (\frac 12 + it\Bigr )=O\Bigl (t^{^{\tfrac {229}{1392}}}\Bigr ) \] und \[ \zeta (\sigma + it) = O\Bigl (t^{^{\tfrac {1}{4Q-2}\cdot \tfrac {240Qq-16Q+128}{240Qq-15Q+128}}}\Bigr ) \] mit \(Q=2^{q-1}\) für alle Vertikalgeraden \[ \sigma = 1-\frac {q+1}{4Q-2}\quad (q=3,4,\dots ). \] In der Methode schließt sich die Arbeit eng an die Arbeit von \textit{van der Corput} (Math. Ann. 87 (1922), 39-65; F. d. M. 48, 181 (JFM 48.0181.*)) an, vereinfacht und verschärft aber die dortigen Ansätze. Ähnlich wie dort \textit{van der Corput} betrachtet Verf. gewisse Exponentensysteme, die er in folgender Weise definiert: Zwei Zahlen \(k\) und \(l\) aus den Intervallen \(0\leq k \leq \frac 12\); \(\frac 12\leq l \leq 1\) heißen ein ``exponent pair'' \((k,l)\), wenn zu jedem \(s>0\) eine ganze Zahl \(r\geq 5\) und eine Zahl \(c\) aus dem Intervall \(0<c<\frac 12\) existiert, so daß \[ \sum _{a\leq n \leq b} e^{2\pi i f(n)} = O(z^ka^l) \] in bezug auf \(s\) und \(u\) gilt, wenn \[ u>0,\quad 1\leq a<b<au,\quad y>0,\quad z=ya^{-s}>1 \] und \(f(n)\) eine \(r\)-mal in \(\langle a,b\rangle \) differenzierbare reelle Funktion mit \[ |f^{(p+1)}(n) - (-1)^p ys(s+1)\dots (s+p-1)n^{-s-p}| <cys(s+1)\dots (s+p-1)n^{-s-p} \] für \(a\leq n \leq b\) und \(0\leq p \leq r-1\) ist. Verf. beweist dann, daß mit \((\varkappa,\lambda )\) zugleich auch \((k,l)\) ein ``exponent pair'' ist, wenn entweder \[ \begin{aligned} k&=\frac {\varkappa }{2(1+\varkappa )}\quad \text{und}\quad l=\frac 12+\frac {\lambda }{2(1+\varkappa )}\quad \text{oder}\tag{1}\\ k&=\lambda -\frac 12,\quad l=\varkappa +\frac 12\quad \text{und}\quad 2k+l\geq 1\quad \text{oder}\tag{2}\\ k&=\frac {\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\quad \text{und}\quad l=1-\frac {1-\lambda +q\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\tag{3} \end{aligned} \] bei ganzem \(q\geq 1\) und mit \(Q=2^q\) oder \[ k=\frac 12 - \frac {1-\lambda +q\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\quad \text{und}\quad l=\frac 12 + \frac {\varkappa }{Q+2(Q-1)\varkappa }\tag{4} \] mit ganzem \(q\geq 1\) und \(Q=2^q\) gilt. Der Beweis dieser Tatsachen beruht auf Hilfssätzen, die zum Teil eng mit von \textit{Titchmarsh} in den vorstehend besprochenen Arbeiten benutzen Sätzen zusammenhängen, und von denen einer aus der erwähnten Arbeit von \textit{van der Corput} (Lemma 7) herangezogen wird. Aus den Sätzen (1) bis (4) ergeben sich die angeführten Hauptergebnisse über die Zetafunktion. (IV 4, 6A.)