Remarques sur un problème de la théorie des nombres. (Q2622872)

\(\nu(n)\) sei die Anzahl der voneinander verschiedenen, \(\vartheta(n)\) die Anzahl aller in \(n\) aufgehenden Primzahlen. Die Dirichletentwicklung \[ \sum _{n=1}^{\infty } \frac {2^{\nu (n)}}{n^s} = \frac {\zeta ^2(s)}{\zeta (2s)} \] liefert eine asymptotische Formel für die summatorische Funktion \(\sum_{n\leq x} 2^{\nu (n)}\) [\textit{E. Landau}, Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen. II (1909; JFM 40.0232.09), S. 666] mit dem Restglied \(O(\sqrt x\log x)\). Verf. untersucht die Summen \(\mathop {\sum \nolimits '}2^{\nu (n)}\) und \(\mathop {\sum \nolimits '} 2^{\vartheta (n)}\), wo \(n\) nur die ganzen Zahlen von der Form \(6k\pm 1\) bis \(x\) durchläuft. Er erhält Formeln mit den Restgliedern \[ O\Bigl (x^{\tfrac 34+\varepsilon }\Bigr )\quad \text{für } \nu (n) \] und \[ O\Bigl ( x^{\tfrac 34+\tfrac 12\tfrac {\log 2}{\log 5}}(\log x)^{\tfrac {5+2\sqrt 5}{2}}\Bigr )\quad \text{für }\vartheta (n). \] In einer Schlußbemerkung weist Verf. auf die funktionentheoretischen Schwierigkeiten des allgemeinen Problems hin.