Ricerche aritmetiche sui polinomi. (Q2622883)

Über Ergebnisse von \textit{Nagell} (Abhandlungen Hamburg 1 (1922), 179-194; F. d. M. 48, 132 (JFM 48.0132.*)) und \textit{Estermann} (Einige Sätze über quadratfreie Zahlen, Math. Ann. 105 (1931), 653-662; F. d. M. 57) hinausgehend, beweist Verf: Sei \(F(x)\) ein ganzwertiges Polynom vom Grade \(g\geq 1\), bezeichne \(L_s(\xi ;F(x))\) für ganzes \(s\geq 2\) die Anzahl der von \(s\)-ten Potenzen freien ganzen \(x\) im Intervall \(0<x\leq \xi \) aus der Folge \[ F(1),F(2),F(3),\dots, \] und sei \(g_0\) das Maximum der Grade der irreduziblen Faktoren von \(F\). Dann gilt für \(s\geq \operatorname {Max}(2,g_0)\) mit einer - vom Verf. explicite angegebenen - positiven Konstanten \(\Lambda _s\) \[ L_s(\xi ;F(x))=\Lambda _s\xi + o(\xi ). \] Verf. bringt dieses Ergebnis in Verbindung mit den \textit{Brun-Rademacher}schen Untersuchungen zum \textit{Goldbach}schen Problemkreis (vgl. z. B. \textit{H. Rademacher}, Abhandlungen Hamburg 3 (1923), 12-30; F. d. M. 49, 128 (JFM 49.0128.*)-129).