Diophantische Approximationen in imaginären quadratischen Zahlkörpern, insbesondere im Körper \(\mathfrak K(i\sqrt 2)\). (Q2622891)

Sei \(D\) eine positive ganze quadratfreie Zahl und \(\mathfrak K\) der Körper von \(\sqrt {-D}\). Es handelt sich um die untere Grenze \(\psi (D)\) aller reellen positiven Zahlen \(\gamma \), für die jede nicht zu \(\mathfrak K\) gehörige komplexe Zahl \(\alpha \) durch unendlich viele Brüche \(\dfrac {p}{q}\) mit ganzen \(p\), \(q\) aus \(\mathfrak K\) mit der Genauigkeit \[ \Bigl |\alpha - \frac {p}{q}\Bigr | < \frac {\gamma }{|q|^2} \] approximierbar ist. Verf. hatte früher speziell \(\psi (1) = \dfrac 1{\sqrt 3}\), \(\psi (3) = \dfrac 1{\root {4}\of 13}\) bewiesen, und zwar sogar mit ``Minimum'' statt bloß ``untere Grenze''. Hier beweist er, wieder mit sogar ``Minimum'', daß \(\psi (2) =\dfrac 1{\sqrt 2}\) ist. Ferner leitet er für \(D\neq 1,3\) allgemein folgende Schranken für \(\psi (D)\) her: \[ \begin{alignedat}{3} 1&\leq \psi (D) &\leq & \frac 2{\pi }\sqrt {2D}\quad &\text{für}&\quad D\equiv 1\mod 4,\\ \frac 1{\sqrt 2}&\leq \psi (D) &\leq & \frac 2{\pi }\sqrt {2D}\quad &\text{für}& \quad D\equiv 2\mod 4,\\ \frac 1{\sqrt 3}&\leq \psi (D) &\leq & \frac 1{\pi }\sqrt {2D}\quad &\text{für}&\quad D\equiv 3\mod 4. \end{alignedat} \] Weiter zeigt er, daß \(\psi (D)\) auch die untere Grenze derjenigen reellen positiven \(\gamma \) ist, für die jede quadratische Form \[ ax^2 +bxy + cy^2\quad (a,b,c\text{ komplex }, \;|b^2-4ac|=D), \] die höchstens einen Linearfaktor in \(\mathfrak K\) hat, unendlich viele ganze \(x\), \(y\) aus \(\mathfrak K\) mit \[ 0<|ax^2+bxy+cy^2|\leq \gamma \sqrt D \] zuläßt.