An approximate functional equation with applications to a problem of diophantine approximation. (Q2622893)

In der Methode schließt sich Verf. an an \textit{A. Oppenheim} (Proceedings L. M. S. (2) 28 (1928), 467-483; F. d. M. 54, 411 (JFM 54.0411.*)), der die \textit{Hardy-Littlewood}sche Methode der ``approximate functional equation'' auf Summen vom Typus \[ \sum \limits _{n\leq w} r(n) e^{i\pi n z}\quad \text{mit}\quad r(n) = \sum \limits _{n=x_1^2 + x_2^2}1 \] und ähnliche Bildungen angewendet hat. Dem Gegenstand nach knüpft die Arbeit an an Arbeiten von \textit{S. D. Chowla} (Some problems of diophantine approximation I; M. Z. 34 (1931), 544-563; F. d. M. \(57_{\text I}\)) und \textit{A. Walfisz} (Über einige trigonometrische Summen; M. Z. 33 (1931), 564-601; F. d. M. \(57_{\text I}\)), die Summen der Form \[ \sum \limits _{n\leq \omega }d(n)\cos 2\pi n x \quad \text{mit}\quad d(n) = \sum \limits _{d\mid n}1 \] und verwandte Summen untersuchten. Den ersten fünf der bei \textit{Walfisz} a. a. O. eingeführten Klassen fügt Verf. die folgenden hinzu (bei \textit{Walfisz} entspricht die reelle Zahl \(\theta \) der Zahl \(x\) hier und beim Verf.): VI. \(x\) sei eine feste rationale Zahl mit der Kettenbruchentwicklung \[ \frac {1}{x} = a + \frac {1}{ a_1 + \frac {1}{ a_2 + {\atop \ddots {\atop +\frac {1}{a_k}}}}}. \] VII. \(x\) sei eine Irrationalzahl mit der Kettenbruchentwicklung \[ \frac {1}{x} = a + \frac {1}{ a_1 + \frac {1}{ a_2 + {\atop \ddots }}} = a + x_1, \tag{\(^*\)} \] und es sei mit einer positiven Konstanten \(A\) \[ a_r<Ar^{1+K}\quad \text{mit}\quad K\geq 0\quad \text{und}\quad r=1,2,\dots. \] VIII. \(x\) sei eine Irrationalzahl mit der Kettenbruchentwicklung \((^*)\), und es sei mit einer positiven Konstanten \(A\) \[ a_r<Ae^{Kr}\quad \text{mit}\quad K>0\quad \text{und}\quad r=1,2,\dots. \] Die ganze Schwierigkeit liegt in dem Nachweis der folgenden beiden Sätze: Theorem (I): Für \(0<x\leq 1\) ist, (a) wenn \(\omega >1+A\) und \(\omega x^2>A\) gilt: \[ \sum \limits _{n\leq \omega } d(n) e^{2\pi i n x } = \frac 1{x}\sum \limits _{n\leq \omega x^2}d(n)e^{-\tfrac {2\pi in}{x}}+O\Bigl (\omega ^{\tfrac 12}\log \omega \Bigr ); \] (b) wenn \(\omega \geq 1\) und \(\omega x^2<A<1\) gilt: \[ \begin{aligned} \sum \limits _{n\leq \omega }d(n) e^{2\pi i n x} &=\frac {1}{2\pi i x}\biggl \{(\log \omega +2\gamma )(e^{2\pi i x \omega }-1) + \int \limits _0^{2\pi x \omega } (1-e^{it})\frac {dt}{t}\biggr \}\\ &+\Delta _1(\omega )e^{2\pi i x \omega } + O\Bigl (x^{\tfrac 14}\Bigr ), \end{aligned} \] wo \(\gamma \) die \textit{Euler}sche Konstante bezeichnet und \[ \Delta _1(\omega ) = \sum \limits _{n\geq \omega } d(n) -\omega (\log \omega +2\gamma -1) \] gesetzt ist, was nach \textit{Dirichlet} (Werke 2, 51-66) roh als \(O\bigl (\omega ^{\tfrac 12}\bigr )\) abgeschätzt werden kann. Theorem (II): Für \(0<x\leq 1\), \(\omega \geq 1\) und \(N=\omega x^2\) ist, (a) wenn \(N>A\) gilt: \[ \begin{aligned} \sum \limits _{n\leq \omega }\frac {d(n)}{n}e^{2\pi i n x}&=x\sum \limits _{n\leq N}\frac {d(n)}{n} e^{-\tfrac {2\pi i n}{x}} + \frac F(x)\\ &+\frac 12\log ^2\frac 1{x}+ \Bigl (\gamma -\log 2\pi +\frac {\pi i}{2}\Bigr ) \log \frac 1{x} + O\Bigl (N^{-\tfrac 15}\Bigr ); \end{aligned} \] (b) wenn \(N<A<1\) gilt: \[ \sum \limits _{n\leq \omega }\frac {d(n)}{n}e^{2\pi i n x} = \mathfrak F(x) + \int \limits _1^\omega (\log t + 2\gamma )e^{2\pi i x t}\frac {dt}{t} + O\Bigl (\omega ^{-\tfrac 17}\Bigr ) \] (beide Abschätzungen sind nicht unverbesserlich, aber ausreichend scharf und gelten gleichmäßig in \(x\)), mit in \(0\leq x \leq 1\) stetigen, von \(\omega \) unabhängigen Funktionen \(\mathfrak F(x)\). Diese beiden Sätze liefern mit bedeutend weniger zahlentheoretischem Apparat, als bei \textit{Chowla} und \textit{Walfisz} a. a. O. benötigt wird, zehn den bei \textit{Walfisz} a. a. O. hergeleiteten ähnliche, schärfere Abschätzungen und Konvergenzaussagen für die fraglichen trigonometrischen Summen. Theorem (I) ergibt sich vermittelst eines \textit{van der Corput}schen Satzes (M. Z. 28 (1928), 238-300; F. d. M. 54, 205 (JFM 54.0205.*)), den Verf. im hier benötigten Spezialfall gesondert beweist, da dieser Spezialfall bedeutend einfacher zugänglich nist als der Satz in voller Allgemeinheit.