Lehrbuch der höheren Mathematik für Universitäten und Technische Hochschulen. Bd. I, II, III. I: Vektorrechnung und analytische Geometrie. IV + 210 S., 67 Fig. II: Hauptpunkte der analytischen Geometrie des Raumes. Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung. IV + 240 S., 18 Fig. III: Fortsetzung der Differential- und Integralrechnung. Differentialgleichungen. Differentialgeometrie. Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Probleme der Variationsrechnung. (Q2622898)

I. \textit{G. Kowalewski}, bekannt als Autor einer Reihe ausgezeichneter und weit verbreiteter Lehrbücher von Grunddisziplinen der Mathematik (Differential- und Integralrechnung, Analytische Geometrie, Determinanten, Funktionentheorie), die sämtlich um das Jahr 1910 zum erstenmal erschienen sind, legt hier ein zusammenpassendes Lehrbuch der höheren Mathematik vor, dessen Plan ihm anläßlich seines fünfundzwanzigsten Professorenjubiläums unterbreitet worden ist. Dieses Werk umlaßt alle die Gegenstände, die an den Technischen Hochschulen Deutschlands in dem drei- bis viersemestrigen Kursus über ``Höhere Mathematik'' vorgetragen werden, und ist wohl in erster Linie aus der Lehrtätigkeit des Verf. an der Technischen Hochschule Dresden hervorgegangen, aber mindestens ebenso sehr als Lehrbuch für die Studenten der Mathematik und Physik an Universitäten geeignet. Der erste Band ``Vektorrechnung und analytische Geometrie'' bringt zunächst die Grundtatsachen der Vektoralgebra und in Verbindung damit die Anfangsgründe der Determinantentheorie. Als Anwendung der Vektormultiplikationen werden die einfachsten Formeln der sphärischen Trigonometrie hergeleitet. Als weitere Anwendung untersucht Verf. das auf einen starren Körper wirkende Kraftsystem. Eine sehr eingehende Behandlung finden die Drehungen um eine Achse und die Drehstreckungen; dabei werden auch die gemeinen komplexen Zahlen und die Quaternionen eingeführt. Die Darstellung geht dann zur Geometrie der komplexen Zahlen über: Kreisverwandtschaften, Kreisspiegelungen. Der Inhalt des folgenden Paragraphen läßt sich aus der Überschrift ``Spiegelungen an Geraden'' nicht vermuten; denn hier werden nicht nur die \textit{Hesse}sche Normalform der Gleichung der Geraden, sondern auch der Satz des \textit{Menelaus}, sodann die harmonischen Eigenschaften des vollständigen Vierecks und die Invarianz des Doppelverhältnisses bei Zentralprojektion hergeleitet. Darauf wird die projektive Geometrie im Büschel mit ihren affinen und äquiformen Spezialisierungen besprochen. Die Behandlung der Kegelschnitte erfolt so, daß zunächst für den Kreis die projektive Erzeugung, der \textit{Pascal}sche Satz und die Theorie von Pol und Polare gewonnen werden, und daß diese Eigenschaften dann durch Zentralprojektion auf beliebige nicht entartete Kegelschnitte übertragen werden. Dieses Verfahren bildet den Anlaß, um die projektive Abbildung einer Ebene auf eine andere und darauf das Verhalten einer Kurve zweiter Ordnung bei projektiver Abbildung genauer zu studieren. Betrachtungen aus der äquiformen Geometrie (Auffassung der Bewegungen in der Ebene als projektive Abbildungen, \textit{Laguerre}scher Satz) und aus der affinen Geometrie (Mittelpunktskurven zweiter Ordnung) bilden den Abschluß des ersten Bandes. II. Im zweiten Band werden zunächst die ``Hauptpunkte der analytischen Geometrie des Raumes'' durchgesprochen: Nach Einführung der projektiven Punktkoordinaten im Raum wird die Projektivität zwischen zwei Räumen untersucht und eine Klassifikation der Projektivitäten mit Hilfe der Elementarteilertheorie gegeben. Dabei werden als Beispiele wichtige Sonderfälle behandelt; der Fall der äquiformen Abbildung wird in einem besonderen Paragraphen ``Untersuchung des Fernkreises'' (so nennt Verf. kurs den unendlich fernen Kugelkreis) näher studiert. Dann geht Verf. zu den Flächen zweiter Ordnung über. Nach der projektiven Klassifikation dieser Flächen werden die geradlinigen Erzeugenden und im Zusammenhang damit die Grundbegriffe der Liniengeometrie, ferner die Gruppe der projektiven Abbildungen einer Fläche in sich besprochen. Mit der affinen und äquiformen Klassifikation der Flächen zweiter Ordnung und der Untersuchung besonderer äquiformer Eigenschaften der Flächen (Kreisschnitte, Fokaleigenschaften) schließt der erste Hauptabschnitt des zweiten Bandes. Im zweiten Hauptabschnitt dieses Bandes werden die ``Grundbegriffe der Differential- und Integralrechnung'' vorgetragen: Funktionsbegriff, Limesbegriff, Differenzierbarkeit und Stetigkeit einer Funktion von einer unabhängigen Variablen. Differentiation der elementaren Funktionen und der mittelbaren Funktion, Mittelwertsatz der Differentialrechnung bestimmtes Integral einer stetigen Funktion, Bogenlänge einer stetig differenzierbaren Kurve \(y=f(x)\). III. Die Betrachtungen aus der Differential- und Integralrechnung werden im ersten Abschnitt des dritten Bandes fortgeführt: Höhere Ableitungen, \textit{Taylor}sche Formel mit Anwendung auf die Interpolation, unendliche Reihen, Potenzreihen, Integration gewisser Klassen von elementaren Funktionen, Differentiation von Funktionen mehrerer Veränderlichen, Maxima und Minima bei diesen Funktionen, implicite gegebene Funktionen, Maxima und Minima mit Nebenbedingungen, Tangentialebene einer Fläche \(F(x,y,z)=0\), Doppelintegrale, \textit{Gauß}scher Satz und einige geometrische Anwendungen der Doppelintegrale; dabei beschränkt sich Verf. auf solche ebene Punktmengen, die sich aus endlich vielen \(x\)- oder \(y\)-Normalbereichen zusammensetzen lassen: ein \(x\)-Normalbereich ist die durch die Ungleichungen \[ a\leq x \leq b, \quad \varphi (x) \leq y \leq \psi (x) \] mit auf \(\langle a,b\rangle \) stetigen \(\varphi (x)\) und \(\psi (x)\), \(\varphi (x)<\psi (x)\), definierte Punktmenge, und ein \(y\)-Normalbereich wird analog definiert. Im zweiten Abschnitt dieses Bandes entwickelt Verf. einige Grundtatsachen aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen: lineare Differentialgleichung erster Ordnung, \textit{Bernoulli}sche, \textit{Lagrange}sche und\textit{Clairaut}sche Differentialgleichung, Anwendung auf das Zweikörperproblem in der Ebene, Behandlung der Differentialgleichnug \[ X(x,y)dx + Y(x,y)dy=0 \] mit Hilfe des \textit{Euler}schen Multiplikators, schließlich einiges über lineare Differentialgleichungen \(n\)-ter Ordnung. Im dritten Abschnitt werden die Anfangsgründe der Differentialgeometrie vorgetragen: Begleitendes Dreibein einer Raumkurve, \textit{Frenet}sche Ableitungsgleichungen und Anwendung auf einige einfache Probleme der Kurventheorie; begleitendes Dreibein einer Fläche, Ableitungsgleichungen von \textit{Gauß} und \textit{Weingarten}, Dreiindicessymbole erster und zweiter Art, \textit{Mainardi-Codazzi}sche Formeln, isometrische Abbildung, Krümmungslinien geodätische Krümmung, geodätische Linien. Der vierte Abschnitt ``Funktionen einer komplexen Veränderlichen'' beginnt mit der Einführung der komplexen Zahl als geordnetes Paar von reellen Zahlen (im ersten Band war die Einführung der komplexen Zahl im Zusammenhang mit der Theorie der Quaternionen erfolgt). Die analytische Funktion wird zunächst nach \textit{Cauchy-Riemann} definiert und dann die Identität dieser Definition mit der \textit{Weierstraß}schen gezeigt. Es folgen der Beweis des \textit{Cauchy}schen Integralsatzes, der \textit{Cauchy}schen Integralformel und des \textit{Liouville}schen Satzes, als dessen Anwendung der Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra. Eine Bemerkung über konforme Abbildung bildet den Anschluß dieses Bandes. Im Schlußabschnitt des Werkes werden ``Einige Probleme der Variationsrechnung'' besprochen, insbesondere das Problem der Brachistochrone. (IV 3 A, B; 4, 9, 15. V 5 A, B. D; 6. A, B.) Besprechungen: Mathesis 47 (1933), 184. M. I. Lodgson; Bulletin A. M. S. 40 (1934), 23-24. E. A.; Bulletin de Math. et de Phys. Bucarest 4 (1933), 192. H. Fehr; Enseignement 31 (1933), 322-323; 32 (1933), 121. H. D. Kloosterman; Mathematica Tijdschrift voor Studeerenden 2 (1933, 1934); 60-61, 195). G. Verriest; Revue Questions scient. (4) 24 (1933), 137-141. E. Löffler; Unterrichtsblätter 40 (1934), 23-24. R. v. Mises; Z. f. angew. Math. 13 (1933), 393.