Aufbau von Mittelwerten mehrerer Argumente. I. (Q2622908)

Der bekannte Prozeß, der zur Bildung des \textit{Gauß}schen arithmetisch-geometrischen Mittels führt, kann als eine Mischung der arithmetischen mit der geometrischen Mittelbildung bezeichnet werden. Solcher Mischungen sind viele untersucht worden. Die vorliegende Arbeit geht von der Bekerkung aus, daß es keine Untersuchungen zu geben scheint, die aus einem gegebenen Mittel von \(n\) Argumenten durch einen ähnlichen Algorithmus ein solches von \(n+1\) Elementen erzeugen. Ein derartiger Algorithmus wird nun geschlaffen: Es sei \(M\) ein Mittel von \(n\) Argumenten, und es sei ein System von \(n +1\) Zahlen gegeben. Bildet man dann die \(n+1\) Mittel von je \(n\) dieser Größen, so erhält man ein neues System von \(n+1\) Größen, aus diesen ebenso wieder ein neues, usw. Konvergiert dies Verfahren, so liefert es ein Mittel \(M'\) der \(n+1\) Größen, das als Obermittel von \(M\) bezeichnet wird. Sind z. B. \(a_1\), \(a_2\) positiv, und ist \(a_1+a_2=1\), so ist \[ M = M(x_1,x_2) = a_1x_1 + a_2x_2 \] ein Mittel von zwei Argumenten. Hierzu ergibt sich als Obermittel von drei Argumenten \[ M'=M'(y_1,y_2,y_3)=\frac {a_1^2y_1+a_1a_2y_2+a_2^2y_3}{a_1^2+a_1a_2+a_2^2}. \] Liegen die Argumente in \((a,b)\), ist die Funktion \(\xi =\varphi (x)\) dort stetig, eindeutig umkehrbar, und hat sie beschränkte Differenzenquotienten, so wird \[ M_\varphi (\xi _1,\xi _2,\dots,\xi _n) = \varphi \bigl (M(x_1,x_2,\dots,x_n)\bigr ), \] wobei \(\xi _\nu = \varphi _(x_\nu )\) ist, das durch \(\varphi \) erzeugte Bildmittel \(M_\varphi \) von \(M\) genannt. Viele der bekannten Mittel sind in diesem Sinne Bilder voneinander, z. B. das geometrische vom arithmetischen vermöge \(\xi = e^x\). Durch Verbindung dieser beiden Begriffe Obermittel und Bildmittel wird nun eine Riehe interessanter Sätze hergeleitet, nachdem zunächst eine (sehr umfangreiche) Klasse von Mittelbildungen axiomatisch festgelegt und die Konvergenzfragen für diese erledigt worden sind. Unter diesen Sätzen sei hervorgehoben: Die Bildung von Obermittel und Bildmittel ist vertauschbar. Die weiteren Sätze beschäftigen sich mit Ungleichungen zwischen den Mitteln. Dabei ergibt sich eine weitgehende Verallgemeinerung eines älteren Satzes von \textit{Jensen}. Ganz speziell sprignt ein neuer Beweis dafür heraus, daß das geometrische Mittel nicht größer ist als das arithmetische. (III 1, IV 2.)