Some more integral inequalities. (Q2622916)

Die Note schließt an zwei frühere Arbeiten der Verf. an (1927, 1928; F. d. M. 53, 193 (JFM 53.0193.*); 54, 226). Die jetzt bewiesenen Sätze sind Spezialfälle eines allgemeinen und recht komplizierten Satzes, den die Verf. in der erstgenannten Arbeit ohne Beweis aufgestellt hatten (Theorem 25). Bei diesen Spezialfällen können sie aber den besten Wert der auftretenden Konstanten \(K\) angeben. Als Probe seien die Sätze (1) und (4) angegeben: (1)\quad Ist \(p>1\), \(a>0\), \(b>0\) und \(h(x)=\displaystyle \int \limits _0^x f(t)g(x-t)dt\), so ist \[ \int \limits _0^\infty x^{(1-a-b)(p-1)}h^pdx\leq K\int \limits _0^\infty x^{(1-a)(p-1)}f^pdx\cdot \int \limits _0^\infty x^{(1-b)(p-1)}g^pdx \] mit \[ K=\Bigl (\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (a+b)}\Bigr )^{p-1}. \] (4)\quad Sind \(l,m\) nicht größer als 1 und nicht beide gleich 1, so ist \[ \int \limits _0^\infty x^{l+m-2}hdx\leq K\int _0^\infty x^{l-1}fdx\cdot \int _0^\infty x^{m-1}gdx \] mit \[ K = \frac {(1-l)^{1-l}(1-m)^{1-m}}{(2-l-m)^{2-l-m}}. \] Die Konstante \(K\) ist beidemal die beste. Entsprechende Sätze gelten für unendliche Reihen. (IV 3 B.)