Über den Permanenzsatz gewisser Limitierungsverfahren für Doppelfolgen. II. (Q2622957)

Im Anschluß an den ersten Teil der vorliegenden Arbeit (M. Z. 34 (1931), 281-290; F. d. M. \(57_{\text I}\)) beweist Verf. folgenden Satz (vgl. für die Bezeichnung das zitierte Referat): Eine konvergente Doppelfolge \(s_{\mu \nu }\) ist dann und nur dann \(\{AB\}\)-limitierbar, wenn die Bedingung \(\limsup \limits _{m,n\to \infty }|S_{m,n}|<\infty \) erfüllt ist. - Für das \(H_1\)-Verfahren wird noch ein zweiter, sehr vereinfachter Beweis gegeben. Nennt man die Doppelfolge \(s_{mn}\) mit \textit{Moore} restringiert-konvergent bzw. restringiert-limitierbar, wenn für jedes \(C_1<C_2\) diejenigen \(s_{\mu \nu }\), bzw. \(S_{\mu,\nu }\), deren Indices der Ungleichung \(C_1\mu <\nu <C_2\mu \) genügen, gegen einen Wert \(s\) streben - was mit \[ \Bigl [\lim _{\substack{ \mu \to \infty \\ \nu \to \infty }} \Bigr ] s_{\mu \nu } = s, \quad \text{bzw. mit}\quad \Bigl [\lim _{\substack{ \mu \to \infty \\ \nu \to \infty }} \Bigr ] S_{\mu,\nu } = s \] bezeichnet wird -, so gilt folgender Satz: Eine restringiert-konvergente Doppelfolge ist dann und nur dann zugleich restringiert \(H_1\)-limitierbar, wenn der analog gebildete ``restringierte'' obere Grenzwert \[ \Bigl [\limsup _{\substack{ m\to \infty \\ n\to \infty }} \Bigr ] S_{m,n}=K<\infty \] ist. In diesen Sätzen stimmt der Limes der konvergenten Folge mit dem \(\{AB\}\)- bzw. \(H_1\)-Limes überein.