Mechanische Quadraturen mit positiven Cotesschen Zahlen. (Q2622996)

Es wird bewiesen, daß eine Quadraturformel gegen den Wert des entsprechenden bestimmten Integrales konvergiert, wenn die unter dem Integral auftretende Funktion im \textit{Riemanns}chen Sinne integrierbar ist, und wenn sämtliche in der Quadraturformel vorkommenden Gewichte, die hier als \textit{Cotes}sche Zahlen bezeichnet werden, nicht negativ sind. Für die Fälle, daß die Interpolationsstellen Nullstellen von \[ T_n(x) = T_n(\cos \theta ) = \cos n\theta = 0 \tag{1} \] (\textit{Tschebyscheff}sche Quadraturformeln), \[ U_n(x) = U_m(\cos \theta ) = \frac {\sin (n+1)\theta }{\sin \theta } = 0, \tag{2} \] \[ P_n(x) + AP_{n-1}(x) + BP_{n-2}(x) = 0 \tag{3} \] sind, wo die \(P_n(x)\) \textit{Legendres}che Polynome \(n\)-ten Grades, \(A\) und \(B\) Konstanten mit \(B < 0\) sind und die Gleichung reelle, von einander verschiedene, im Intervall \((-1,+1)\) liegende Nullstellen hat, wird nach gewiesen, daß die Gewichte der zugehörigen Quadraturformeln tatsächlich nicht negativ sind, für diese also der oben angegebene Satz gilt. Schließlich wird gezeigt, daß die Interpolationsstellen in dem Fall, wo die \textit{Cotes}schen Zahlen nicht negativ sind, in der Grenze im Intervall überall dicht liegen und die zugehörigen \textit{Cotes}schen Zahlen gegen Null konvergieren. (IV 6 A, 17.)