The constants of certain inequalities. (Q2622998)

In einer früheren Note [J. Lond. Math. Soc. 4, 199--202 (1929; JFM 55.0137.03)] hat Verf. bewiesen, daß, wenn \[ F(x) = \int _0^\infty e^{-xy}f(y)\,dy \] die Laplace-Transformierte der nicht negativen Funktion \(f(x)\) bedeutet, für \(p > 1\) \[ \int _0^\infty F^p(x)\,dx \le \Gamma^p\left (\frac {1}{p}\right )\int _0^\infty x^{p-2}f^p(x)\,dx \] gilt. Dieser Satz und weitere Sätze derselben Art werden in der vorliegenden Note in einheitlicher Form bewiesen, und zwar mittels eines Verfahrens, das einem von Verf., \textit{Littlewood} und \textit{Pólya} in einer gemeinsamen Note (The maximum of a certain bilinear form; Proceedings L. M. S. (2) 25 (1926), 265-282; F. d. M. 52) angewendeten Verfahren nachgebildet ist. In den folgenden Sätzen werden alle auftretenden Funktionen als nicht negativ und der ``Kern'' \(K(u)\) als fast überall positiv (fast überall = überall mit etwaiger Ausnahme einer Menge vom Maße Null) vorausgesetzt; die Integrale und Summen sind sämtlich von \(0\) bis \(\infty \) zu erstrecken; die Ungleichung \(X < Y\) soll bedeuten: wenn \(Y\) endlich ist, dann ist auch \(X\) endlich, und es ist \(X < Y\). (1) Wenn \(p > 1\) und weder \(f\) noch \(g\) Null ist, dann gilt \[ \iint K(xy)f(x)g(y)\,dx\,dy < \varphi \left (\frac {1}{p}\right )\left \{\int x^{p-2} f^p \,dx\right \}^{\frac {1}{p}}\left \{\int g^{p'} \,dy\right \}^{\frac {1}{p'}}. \] Dabei ist \[ \varphi (s) = \int K(u) u^{s-1} \,du \] und \( p' = \frac {p}{p-1}\). Die Konstante ist die bestmögliche. (2) Wenn \(p > 1, f\) nicht Null und \[ F(x) = \int K(xy) f(y) \,dy \] ist, dann gilt \[ \int F^p \,dx < \varphi ^p \left (\frac {1}{p}\right ) \int x^{p-2} f^p \,dx \text{ und } \int x^{p-2}F^p \,dx < \varphi ^p\left (\frac {1}{p'}\right ) \int f^p \,dx. \] Die Konstanten sind die bestmöglichen. Ersetzt man in (2) \(x\) oder \(y\) durch eine die natürlichen Zahlen durchlaufende Veränderliche \(p\), so ergeben sich vier weitere Ungleichungen (3) bis (6) zwischen einem uneingentlichen Integral und einer unendlichen Reihe, z. B. \[ \int A^p(x) \,dx < \varphi ^p \left (\frac {1}{p}\right )\sum n^{p-2} a_n^p. \] Dabei sind \(a_n\) und \(a(x)\) nicht negativ, \(K(u)\) positiv und abnehmend, und es ist \[ A(x) = \sum a_n K(nx). \] Für \(K(u) = e^{-u}\) erhält Verf. hieraus zwei weitere Ungleichungen (7) und (8), z. B: \[ \int \left \{\sum a_n e^{-(n+\frac {1}{2})x}\right \}^p \,dx < \Gamma ^p\left (\frac {1}{p}\right ) \sum \left (n + \frac {1}{2}\right )^{p-2} a_n^p. \] Die Ungleichungen (2) bis (8) sind die Analoga für \textit{Laplace}-Transformierte von Ungleichungen aus der Theorie der Fourierreihen (vgl. dazu die in JFM 53.0193.03 besprochene Arbeit von Verf. und \textit{J. E. Littlewood} [J. Reine Angew. Math. 157, 141--158 (1927)]). (IV 3 D, 7.)