On double Riemann-Stieltjes integrals. (Q2623005)

\textit{Stieltjes} definiert sein Integral \(\int _a^b f(x)d \varphi (x) \) vermittelst der Summe \[ \sum _{i=2}^n f(\xi _i)[\varphi (x_i) - \varphi (x_{i-1})], \quad (a = x_0 < x_1 < \cdots < x_n = b, x_{i-1}\leqq \xi _i \leqq x_i). \] Wenn die Summe sich einem endlichen Grenzwert nähert, während die Längen der Teilintervalle gegen Null konvergieren, so definiert dieser Grenzwert das Integral. Andernfalls ist das Integral nicht definiert. Es ist bekannt, daß für jede stetige Funktion \(f(x)\) der Grenxwert dann und nur dann existiert, wenn \(\varphi (x)\) eine Funktion von beschränkter Variation ist. Verf. verallgemeinert diese Untersuchungen für Funktionen von zwei Veränderlichen. An Stelle des linearen Intervalles \((a,b)\) tritt ein Rechteck in der Ebene, das in kleine Rechtecke unterteilt wird. Für die obige Summe erhält man eine Doppelsumme, deren Grenzwert, falls er existiert, das entsprechende Doppelintegral definiert. (IV 3 C.)