Théorie de l'intégrale. Avec une note de S. Banach. (Q2623008)

Das Buch ist eine besonders wertvolle Bereicherung des bisherigen Bestandes an Darstellungen der Theorie des Integrals. Es führt bis zu den neuesten und feinsten Ergebnissen und ist dabei überaus klar geschrieben und sehr übersichtlich gegliedert. Jedes Kapitel hat seine eigene sachliche und historische Einleitung, wie überhaupt das ganze Buch reich an historischen Bemerkungen und Literaturnachweisen ist. Ein ausführliches Literaturverzeichnis ist außerdem beigegeben. Aus dem reichen, in elf Kapiteln gegliederten Stoff sei nur das Wesentliche genannt. In Kap. I werden additive Intervallfunktionen und die für den Aufbau des Integrals nötigen Begriffe (beschränkte Schwankung, absolute Stetigkeit) und zugehörigen Sätze (kanonische Zerlegungen nach \textit{Jordan} und \textit{Lebegue}) gebracht. Es folgt in Kap. II die \textit{Lebesgues}che Maßtheorie, gipfelnd in den Sätzen von \textit{Egoroff} (gleichmäßige Konvergenz von Folgen meßbarer Funktionen) und \textit{Lusin} (Stetigkeit meßbarer Funktionen). Kap. III behandelt die Funktionen beschränkter Schwankung und bringt insbesondere das klassische Theorem von \textit{Lebesgue} über ihre Differenzierbarkeit. Anwendungen auf die Bogenlänge beschließen es. Kap. IV führt das \textit{Lebesgues}che Integral als Stammfunktion des Integranden ein. Es folgen die wichtigsten Eigenschaften, Sätze über partielle Integration, der \textit{Fubinis}che Satz über die Integrationsfolge bei mehrfachen Integralen und wieder Anwendungen auf die Bogenlänge. Kap. V bringt die auf dem Maßbegriff beruhende übliche geometrische Definition des bestimmten \textit{Lebesgues}chen Integrals. Es werden die Mittelwertsätze, die Sätze über gliedweise Integration von Funktionsfolgen und schließlich das Theorem von \textit{Vitali-Carathéodory} (Approximation meßbarer Funktionen durch halbstetige) bewiesen. Die Beziehungen zu den Integralen von \textit{Riemann} und \textit{Stieltjes} bilden den Schluß. Kap. VI ist der Oberflächenbestimmung gewidmet, einem besonders interessanten Anwendungsgebiet des \textit{Lebesgues}chen Integrals. Hier werden weitgehende Sätze von \textit{Radò} und \textit{Tonelli} gebracht. Kap. VII behandelt das \textit{Perrons}che Integral und seine Beziehungen zum \textit{Lebesgues}chen. Kap. VIII bereitet das \textit{Denjoys}che Integral vor. Der Begriff der beschränkten Schwankung und absoluten Stetigkeit einer Funktion wird verallgemeinert (\textit{Denjoy, Lusin, Khintchine}). Kap. IX ist der Theorie der derivierten Zahlen gewidmet. Nach allgemeinen Sätzen folgen solche, die sich auf die in Kap. VIII behandelten Funktionsklassen beziehen und zum Teil aus Eigenschaften der derivierten Zahlen auf die Klassen zurückzuschließen gestatten (\textit{Denjoy}). In Kap. X folgt die Darstellung des \textit{Denjoys}chen Integrals und seiner Haupteigenschaften. Es werden die Beziehungen zum \textit{Lebesgues}chen und \textit{Perrons}chen Integral geklärt (\textit{Hake, Alexandroff, Looman}). Schließlich wird noch eine konstruktive Definition des \textit{Denjoys}chenIntegrals gegeben, die die Verwandtschaft mit den klassischen Definitionen des uneigentlichen Integrals (\textit{Cauchy, Harnack}) zeigt. Das Schlußkapitel XI bringt (in extenso bei Funktionen von zwei Veränderlichen) Untersuchungen über die Existenz des totalen und approximativen Differentials (Sätze von \textit{Rademacher, Stepanoff, Haslam-Jones}). Es folgen sodann Untersuchungen über die Charakterisierung analytischer Funktionen einer komplexen Veränderlichen durch ihren Real- und Imaginärteil. Insbesondere wird der schöne Satz von \textit{Looman} und \textit{Menchoff} über die \textit{Cauchy-Riemanns}chen Differentialgleichungen als hinreichende Bedingung gebracht. Das Buch schließt mit zwei Anhängen. Der erste behandelt die Definition des \textit{Lebesgues}chen Integrals in abstrakten Räumen. Der zweite Anhang ist eine Note von \textit{Stefan Banach}, die sich mit einem neuerlich von \textit{A. Haar} in die Theorie der kontinuierlichen Gruppen eingeführten Maßbegriff beschäftigt. (IV 3 B.)