Sur les familles bornées de fonctions parfaitement additives d'ensemble abstrait. (Q2623019)

Es sei eine nicht leere Menge \(A\) von beliebig gearteten Elementen gegeben. Jede nicht leere Menge \(\mathfrak {K}\), deren Elemente Teilmengen von \(A\) sind, heiße eine Mengengruppe relativ zu \(A\), wenn sie die Bedingungen erfüllt: (1) Ist \(E\) ein Element von \(\mathfrak {K}\), so gehört auch \(A-E\) zu \(\mathfrak {K}\). (2) Sind \(E_1,E_2,\ldots,E_n,\ldots \) Elemente von \(\mathfrak {K}\), so ist auch die Summe \[ E_1 + E_2 + \cdots + E_n + \cdots \] ein Element von \(\mathfrak {K}\). Eine Mengenfunktion \(f(X)\), die für jedes Element \(X\) von \(\mathfrak {K}\) reell definiert ist, heißt vollständig additiv, wenn \[ f(E_1 + E_2 + \cdots + E_n + \cdots ) = f(E_1) + f(E_2) + \cdots + f(E_n) + \cdots \] ist, wie auch die höchstens abzählbar vielen Mengen \(E_n\) gewählt sind. Verf. beweist den folgenden Satz: Es sei \(\mathfrak {K}\) eine Mengengruppe relativ zu \(A\); ferner sei \(\left \{f_\alpha (X)\right \}\) eine Menge von vollständig additiven Mengenfunktionen, wobei \(X\) zu \(\mathfrak {K}\) gehört; schließlich sei vorausgesetzt, daß für jedes beliebige Element \(E\) von \(\mathfrak {K}\) eine Zahl \(M_E\) derart existiert, daß für jedes \(\alpha \) gilt: \[ |f_\alpha (E)| \leqq M_E. \] Dann gibt es eine Zahl \(M > 0\), so daß für jedes \(E\) und jedes \(\alpha \) die Ungleichung gilt: \[ |f_\alpha (E)| \leqq M. \]