Sur les suites convergentes de fonctions parfaitement additives d'ensemble abstrait. (Q2623020)

Es sei eine nicht leere Menge \(A\) von beliebig gearteten Elementen gegeben und eine nicht leere Menge \(K\) von Mengen \(E\), die ihrerseits Teilmengen von \(A\) sind. Diese sollen zwei Bedingungen genügen: (1) Wenn \(E\) ein Element von \(K\) ist, so ist auch \(A - E\) ein Element von \(K\). (2) Wenn \(E_1,E_2,\ldots,E_n,\ldots \) Elemente von \(K\) sind, so ist auch die Summe \[ E_1 + E_2 + \cdots + E_n + \cdots \] ein Element von \(K\). Eine Mengenfunktion \(f(X)\), die für jedes Element \(X\) von \(K\) definiert ist, und deren Werte Überall reell sind, heißt vollständig additiv in \(K\), wenn \[ f(E_1 + E_2 + \cdots + E_n + \cdots ) = f(E_1) + f(E_2) + \cdots + f(E_n) + \cdots \] ist, wie auch die Mengen \(E_n\) gewählt werden, soweit sie nur sämtlich Teilmengen von \(K\) sind. Verf. beweist den folgenden Satz: Es sei \({f_n(X)}\) eine unendliche Folge von in \(K\) vollständig additiven Mengenfunktionen. Wenn der Grenzwert \[ \lim _{n \rightarrow \infty } f_n(E) \] für jedes Element \(E\) von \(K\) existiert, so ist die Funktion \[ f(X) = \lim _{n \rightarrow \infty } f_n(X) \] ebenfalls vollständig additiv in \(K\).