Sur l'intégration des différentielles totales et la métrique des courbes. (Q2623040)

Es sei \(u(t)\) eine Funktion, die in einem Intervall \(\alpha \leqq t \leqq \beta \) definiert ist. Verf. bildet die Funktion \[ W(u,t_i) = \sum _{i=1}^n [u(t_i) - u(t_{i-1})]^2;\;t_0 = \alpha,\;t_n = \beta, 0 < t_i - t_{i-1} \leqq \omega, \] wobei \(\omega > 0\) eine beliebig vorgegebene Zahl ist. Den oberen Grenzwert von \(W(u,t_i)\), wenn \(\omega \) gegen Null konvergiert, nennt er ``variation carrée totale'' von \(u(t)\) im Intervall \((\alpha,\beta )\). Diese Variation, die mit \(V^{(2)}T(u,\alpha,\beta )\) bezeichnet sei, kann Null sein oder positiv endlich oder unendlich groß. Der erste Fall tritt stets ein, wenn \(u\) ene Funktion von endlicher totaler Variation ist. Es sei \(C\) eine Kurve, bezeichnet durch \(M(x,y,z)\), wobei \[ x = f(t),\;y = g(t),\;z = h(t) \] sind. \(f,g,h\) sind definiert und stetig im Intervall \(\alpha \leqq t \leqq \beta.\^^MM_i(x_i,y_i,z_i)\) entspreche dem Parameterwert \(t_i\), ferner \(A\) dem Werte \(t = t_0 = \alpha \) und \(B\) dem Werte \(t = t_n = \beta \). Verf. bildet die Summe \[ \overline {AM_1}^2 + \overline {M_1M_2}^2 + \cdots + \overline {M_{n-1}B}^2 \quad (0 < t_i-t_{i-1} \leqq \omega ). \] Der obere Grenzwert dieser Summe, wenn \(\omega \) gegen Null konvergiert, wird ``longueur quadratique'' von \(C\) genannt und durch das Symbol \(L^{(2)}C\) bezeichnet. Verf. beweist folgenden Satz: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jedes totale Differential \[ P dx + Q dy + R dz = dU(x,y,z) \] über \(C\) integrierbar ist, wenn \(P,Q\) und \(R\) der \textit{Lipschitzs}chen Bedingung genügen, lautet: Es ist \[ L^{(2)}C = 0. \]