Sur l'intégration le long des ensembles fermés rectifiables. (Q2623041)

Es sei \(G\) eine abgeschlossene, beschränkte Menge und \(\varepsilon \) eine gegebene positive Zahl. \(k(\varepsilon )\) bedeute die Anzahl der Kontinua von \(G\), deren Durchmesser größer als \(\varepsilon \) sind. Man sagt, \(G\) erfüllt die Bedingung ``(\(D\) bis)'' bzw. die Bedingung ``(\(D\) ter)'', wenn es nur eine endliche Anzahl \(k(\varepsilon )\) von Kontinuen gibt, die paarweise getrennt sind (\(D\) bis) bzw. paarweise eine höchstens abzählbare Menge von Punkten gemeinsam haben (\(D\) ter). Die zu \(G\) komplementäre Menge genüge der Bedingung (\(D\) bis); sie besteht aus endlich oder abzählbar unendlich vielen Gebieten \(r_m\). Der Rand \(F_m\) dieser \(r_m\) gehört zu \(G\) und bestehe aus mindestens einer und höchstens abzählbar vielen einfachen \textit{Jordans}chen Kurven, die paarweise höchstens einen Punkt gemeinsam haben. Mit \(\Gamma _n\) sei eine Kurve bezeichnet, die vollständig zu dem Rande der \(r_m\) gehört. Die Punkte, die wenigstens drei Kurven \(\Gamma _p\) angehören, bilden eine höchstens abzählbare Menge. Verf. beweist den folgenden Satz: Es seien \(P(x,y)\) und \(Q(x,y)\) zwei in \(G\) definierte, stetige Funktionen, und \(G\) sei abgeschlossen und von endlichem Maße. Dann ist \[ \sum _n \int _{\Gamma n} (P dx + Q dy) = 0. \]