Über den Mittelwert , der durch die kleinste Abweichung definiert wird. (Q2623046)

Es sei \(\varphi (x)\) für \(x \geqq 0\) stetig und wachse monoton. (1) Die Funktion \[ \Phi (x) = \sum _{\nu =1}^n \varphi (|x - \xi _\nu |) \] hat genau dann genau einen kleinsten Wert, wenn \(\varphi (x)\) konvex im engeren Sinne ist. Es erfülle \(\varphi (x)\) nun auch noch diese letzte Bedingung, und es sei \(M_\varphi (\xi _1,\ldots,\xi _\nu )\) der Wert von \(x\), für den \(\Phi (x)\) das Minimum annimmt. (2) Es gilt für jede Konstante \(k\) \[ M_\varphi (k \xi _1,\ldots,k \xi _n) = kM_\varphi (\xi _1,\ldots,\xi _n) \] genau dann, wenn \(\varphi (x)\) von der Gestalt \(cx^\alpha \) mit \(\alpha > 1, c > 0\) ist.